Enunciado

40. a) Mostre que, para x > 0 e k ≠ 0 , as equações

x k = e x           e           ln ⁡ x x = 1 k

Têm as mesmas soluções.

b) Use o gráfico de y = ( ln ⁡ x ) / x para determinar os valores de k com os quais a equação x k = e x tem duas soluções positivas distintas.

c) Aproxime as soluções positivas de x 8 = e x .

Passo 1

Belezuras galera, a letra (a), queremos mostra que para x > 0 e k ≠ 0 , as equações:

x k = e x           e           ln ⁡ x x = 1 k

Têm as mesmas soluções. Pra isso, a gente pode pegar alguma dessas equações e ver se conseguimos, a partir de alguma operaçõeszinhas, chegar na outra. Saca só, na primeira, podemos fazer o seguinte:

x k = e x

Bora aplicar o logaritmo natural dos dois lados:

ln ⁡ x k = ln ⁡ e x

Logo:

k ln ⁡ x = x ln ⁡ e

E como ln ⁡ e = 1 , temos que:

k ln ⁡ x = x

Passando o x para um lado e k   para o outro temos:

ln ⁡ x x = 1 k

O que é exatamente igual a outra equação.

ln ⁡ x x = 1 k

Portanto, elas possuem as mesmas soluções.

Passo 2

Agora na letra (b), queremos saber os valores de k com os quais a equação x k = e x tem solução. Cruzando os gráfico de y = 1 / k e y = ln ⁡ x / x temos:

Elese se intersectam em x = k = e , logo em k = e temos a solução positiva x = e :

x e = e x

e e = e e

Passo 3

Agora por fim, na letra(c), vamos aproximar as soluções positivas de x 8 = e x . A partir da nossa relação temos que:

1 k = ln ⁡ x x ⇔ x k = e x  

Temos agora que k = 8 , logo:

1 8 = ln ⁡ x x

E jogando essa equação na calculadora gráfica, obtemos:

Podemos aproximar nosso valores para x ≈ 1,2 e x ≈ 26,1 .

Resposta

  1. 1 k = ln ⁡ x x ⇔ x k = e x   .
  2. k = e .
  3. x ≈ 1,2 e x ≈ 26,1 .
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