Enunciado

Atirando um projétil em um declive Um projétil ideal é lançado diretamente ao longo de um plano inclinado, conforme mostrado na figura a seguir.

a. Mostre que o maior alcance no declive é atingido quando o vetor velocidade inicial bissecta o ângulo AOR.

b. Se o projétil fosse atirado em um aclive em vez de um declive, que ângulo maximizaria seu alcance? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos desenhar as figuras de cada caso para entender do que se trata.

  1. α = K e S os ângulos do lançamento:
  2. Passo 2

    Vamos começar descobrindo o tempo em que o projétil atinge o declive, para demonstrar que o maior alcance é obtido com o projétil lançado da bissetriz do ângulo.

    Da figura, tiramos que t g   S = y x , vamos guardar essa informação.

    Das equações dos lançamentos temos:

    x = v 0 cos ⁡ K - S t

    y = v 0 sen ⁡ K - S t - 1 2 g t 2

    Como R está abaixo da posição 0 do eixo, então y < 0 .

    y = v 0 sen ⁡ K - S t - 1 2 g t 2 < 0

    1 2 g t 2 - v 0 sen ⁡ K - S t > 0

    Vamos reescrever a tangente.

    t g   S = 1 2 g t 2 - v 0 sen ⁡ K - S t v 0 cos ⁡ K - S t

    t g   S = 1 2 g t - v 0 sen ⁡ K - S v 0 cos ⁡ K - S

    Rearranjando, descobrimos que o tempo é:

    t = 2 v 0 ( sen ⁡ K - S + tg ⁡ S cos ⁡ K - S g

    Passo 3

    Vamos descobrir o x máximo, derivando a função x da posição em relação ao ângulo K, depois de substituir o tempo encontrado.

    x = v 0 cos ⁡ K - S 2 v 0 ( sen ⁡ K - S + tg ⁡ S cos ⁡ K - S g

    x = 2 v 0 2 g tg ⁡ S cos 2 ⁡ K - S + cos ⁡ K - S sen ⁡ ( K - S )

    d x d K = d d K 2 v 0 2 g tg ⁡ S cos 2 ⁡ K - S + cos ⁡ K - S sen ⁡ K - S = 0

    2 v 0 2 g - s e n   2 K - S t g   S + cos ⁡ 2 K - S = 0

    - s e n   2 K - S t g   S + cos ⁡ 2 K - S = 0

    t g   S = cos ⁡ 2 K - S sen ⁡ 2 K - S

    t g   S = cot ⁡ 2 K - S

    Lembrando que cot ⁡ u = t g   ( 90 - u )

    90 ° - S = 2 ( K - S )

    K = 1 2 90 ° + S

    E está demonstrado que o maior alcance é obtido pela bissecção do ângulo.

    Passo 4

    Pessoal, a letra b temos que fazer a mesma coisa, só vai mudar o sinal no final, vamos ver.

  3. Vamos desenhar a figura para esse caso com aclive.

Passo 2

Vamos começar descobrindo o tempo em que o projétil atinge o aclive, lá no topo de R.

Da figura, tiramos que t g   S = y x , vamos guardar essa informação.

Das equações dos lançamentos temos:

x = v 0 cos ⁡ K + S t

y = v 0 sen ⁡ K + S t - 1 2 g t 2

Vamos reescrever a tangente.

t g   S = v 0 sen ⁡ K + S t - 1 2 g t 2 v 0 cos ⁡ K + S t

t g   S = v 0 sen ⁡ K - S - 1 2 g t v 0 cos ⁡ K - S

Rearranjando, descobrimos que o tempo é:

t = 2 v 0 ( sen ⁡ K + S - tg ⁡ S cos ⁡ K + S g

Passo 3

Vamos descobrir o x máximo, derivando a função x da posição em relação ao ângulo K, depois de substituir o tempo encontrado.

x = v 0 cos ⁡ K + S 2 v 0 ( sen ⁡ K + S tg ⁡ S cos ⁡ K + S g

x = 2 v 0 2 g - tg ⁡ S cos 2 ⁡ K + S + cos ⁡ K + S sen ⁡ ( K + S )

d x d K = d d K 2 v 0 2 g - tg ⁡ S cos 2 ⁡ K + S + cos ⁡ K + S sen ⁡ K + S = 0

2 v 0 2 g s e n   2 K + S t g   S + cos ⁡ 2 K + S = 0

s e n   2 K + S t g   S + cos ⁡ 2 K + S = 0

t g   S = - cos ⁡ 2 K + S sen ⁡ 2 K + S

- t g   S = cot ⁡ 2 K + S

Lembrando que cot ⁡ u = t g   ( 90 - u )

90 ° - ( - S ) = 2 ( K + S )

K = 1 2 90 ° - S

Caso fosse atirado de um aclive, este é o ângulo que maximizaria seu alcance!

Bora pro próximo!

Resposta

  1. Demonstração.
  2. K = 1 2 90 ° - S

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