Enunciado

2 - (d x)/(d t) = ([[5,-,1],[3,1]]) x

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[5,-,1],[3,1]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[5,-,1],[3,1]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[5,-,1],[3,1]]) (xi e^(r t))

= ([[5,-,r,-,1],[3,1,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[5,-,r,-,1],[3,1,-,r]]| = 0

r^2 - 6 r + 8 = 0

(r - 2) (r - 4) = 0

Portanto, os autovalores são r_1 = 2 e r_2 = 4 .

Passo 3

Quando r = r_1 = 2 , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[5,-,(,2,),-,1],[3,1,-,(,2,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[3,-,1],[3,-,1]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

3 xi_1 = xi_2

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = 2 é: xi^1 = ([[1],[3]])

Passo 4

Encontre o autovetor correspondente ao autovalor r_2 = 4 .

Substitua  r = 4 na equação ( 2 ) ,

= ([[5,-,(,4,),-,1],[3,1,-,(,4,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[1,-,1],[3,-,3]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_1 = xi_2

O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = 4 é: xi^2 = ([[1],[1]])

Passo 5

b) Como os autovalores obtidos anteriormente são positivos reais, temos que o ponto crítico ( 0,0 ) é um nó instável.

Passo 6

Se a solução começa no ponto inicial na linha através de  xi^2 , então  c_1 = 0 , a solução  x = c_2 ([[2],[1]]) e^(2 t) permanece na linha xi^2  para todos  t .

Desde que  r_2 > 0 | |x| | -> 0 como  t -> oo .

Na equação, o termo exponencial positivo é um termo dominante para valores grandes de  t , de modo que as soluções se aproximam infinitamente assintóticas da linha determinada pela linha  xi^2 .

As únicas linhas são aproximações ao zero e estão exatamente na linha determinada pela linha xi^1 . Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela e instável.

Passo 7

c)

A solução do sistema ( 1 ) é:

x = c_1 ([[1],[3]]) e^(2 t) + c_2 ([[1],[1]]) e^(4 t)

x = ([[c_1,e^(2 t),c_2,e^(4 t)],[3,c_1,e^(2 t),c_2,e^(4 t)]])

então  x_1 (t) = c_1 e^(2 t) + c_2 e^(4 t) e x_2 (t) = 3 c_1 e^(2 t) + c_2 e^(4 t) .

E algumas trajetórias terão alguns valores de constantes  c_1 , c_2 .

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 8

d) O esboço das curvas usando o computador é mostrado abaixo.

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = 2 e r_2 = 4 .
  2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 é: xi^1 = ([[1],[2]])

  3. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó e instável.
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