2 - d x d t = 5 - 1 3 1 x

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 5 - 1 3 1 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 5 - 1 3 1 ξ e r t

r ξ e r t = 5 - 1 3 1 ξ e r t

= 5 - r - 1 3 1 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

5 - r - 1 3 1 - r = 0

r 2 - 6 r + 8 = 0

r - 2 r - 4 = 0

Portanto, os autovalores são r 1 = 2 e r 2 = 4 .

Passo 3

Quando r = r 1 = 2 , a equação ( 2 ) fornece,

= 5 - ( 2 ) - 1 3 1 - ( 2 ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 3 - 1 3 - 1 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

3 ξ 1 = ξ 2

O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 2 é: ξ 1 = 1 3

Passo 4

Encontre o autovetor correspondente ao autovalor r 2 = 4 .

Substitua  r = 4   na equação ( 2 ) ,

= 5 - ( 4 ) - 1 3 1 - ( 4 ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 1 - 1 3 - 3 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

ξ 1 = ξ 2

O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = 4 é: ξ 2 = 1 1

Passo 5

b) Como os autovalores obtidos anteriormente são positivos reais, temos que o ponto crítico ( 0,0 ) é um nó instável.

Passo 6

Se a solução começa no ponto inicial na linha através de  ξ 2 , então  c 1 = 0 , a solução  x = c 2 2 1 e 2 t permanece na linha   ξ 2  para todos  t .

Desde que  r 2 > 0 | x | → 0 como  t → ∞ .

Na equação, o termo exponencial positivo é um termo dominante para valores grandes de  t , de modo que as soluções se aproximam infinitamente assintóticas da linha determinada pela linha  ξ 2 .

As únicas linhas são aproximações ao zero e estão exatamente na linha determinada pela linha ξ 1 . Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela e instável.

Passo 7

c)

A solução do sistema ( 1 ) é:

x = c 1 1 3 e 2 t + c 2 1 1 e 4 t

x = c 1 e 2 t c 2 e 4 t 3 c 1 e 2 t c 2 e 4 t

então  x 1 t = c 1 e 2 t + c 2 e 4 t e x 2 t = 3 c 1 e 2 t + c 2 e 4 t .

E algumas trajetórias terão alguns valores de constantes  c 1 , c 2 .

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 8

d) O esboço das curvas usando o computador é mostrado abaixo.

Resposta

  1. Os autovalores são r 1 = 2 e r 2 = 4 .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = - 1 é: ξ 1 = 1 2

  3. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó e instável.
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