15 – d x d t = - 1 - 1 2 - 1 x + - 1 5

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = - 1 - 1 2 - 1 x + - 1 5 … … .   ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x 0 + u

Passo 2

O ponto crítico x 0 é tal que d x d t x = x 0 = 0

- 1 - 1 2 - 1 x + - 1 5 = 0

- 1 - 1 2 - 1 x 0 = - - 1 5

- 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 - 1 2 - 1 x 0 = - - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 5

I x 0 = - 1 - 1 2 - 1 - 1 1 - 5

x 0 = 1 3 - 1 - 1 2 - 1 1 - 5

x 0 y 0 = 1 3 - 6 3

= - 2 1

Portanto, o ponto crítico é x 0 , y 0 = ( - 2 , 1 ) .

Passo 3

Deixei  x = x 0 + u

Então  d x d t = d u d t desde que d x 0 d t = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

d u d t = - 1 - 1 2 - 1 - 2 1 + - 1 - 1 2 - 1 u + - 1 5

= 1 - 5 + - 1 - 1 2 - 1 u + - 1 5

= - - 1 5 + - 1 - 1 2 - 1 u + - 1 5

= - 1 - 1 2 - 1 u … … .   ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = ξ e r t .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

- 2 - r 1 1 - 2 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

- 1 - r - 1 2 - 1 - r = 0

r 2 + 2 r + 3 = 0

r 1 , 2 = - 1 ± 2 i

Então os autovalores são r 1,2 = - 1 ± 2 i .

Como os autovalores são complexos com parte real negativa, vemos que o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

Resposta

O ponto crítico é x 0 , y 0 = ( - 2,1 ) .

Como os autovalores são complexos com parte real negativa, vemos que o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados