Enunciado

15 – (d x)/(d t) = ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x + ([[-,1],[5]])

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x + ([[-,1],[5]]) ... ... . ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x^0 + u

Passo 2

O ponto crítico x^0 é tal que ((d x)/(d t))_x = x^0 = 0

([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x + ([[-,1],[5]]) = 0

([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x^0 = - ([[-,1],[5]])

([[-,1,-,1],[2,-,1]])^(- 1) ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x^0 = - ([[-,1,-,1],[2,-,1]])^(- 1) ([[-,1],[5]])

I x^0 = ([[-,1,-,1],[2,-,1]])^(- 1) ([[1],[-,5]])

x^0 = (1)/(3) ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) ([[1],[-,5]])

([[x_0],[y_0]]) = (1)/(3) ([[-,6],[3]])

= ([[-,2],[1]])

Portanto, o ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( - 2 , 1 ) .

Passo 3

Deixei  x = x^0 + u

Então  (d x)/(d t) = (d u)/(d t) desde que (d x^0)/(d t) = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

(d u)/(d t) = ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) ([[-,2],[1]]) + ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) u + ([[-,1],[5]])

= ([[1],[-,5]]) + ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) u + ([[-,1],[5]])

= - ([[-,1],[5]]) + ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) u + ([[-,1],[5]])

= ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) u ... ... . ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = xi e^(r t) .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

([[-,2,-,r,1],[1,-,2,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

|[[-,1,-,r,-,1],[2,-,1,-,r]]| = 0

r^2 + 2 r + 3 = 0

r_1 , 2 = - 1 +- sqrt(2 i)

Então os autovalores são r_1,2 = - 1 +- sqrt(2 i) .

Como os autovalores são complexos com parte real negativa, vemos que o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

Resposta

O ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( - 2,1 ) .

Como os autovalores são complexos com parte real negativa, vemos que o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

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