Enunciado

5 - (d x)/(d t) = x - x y , (d y)/(d t) = y + 2 x y

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = x - x y e (d y)/(d t) = y + 2 x y

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

Isso é,

x (1 - y) = 0 e y (1 + 2 x) = 0

Uma maneira de satisfazer a primeira equação é escolhendo  x = 0 .

Então a segunda equação se torna:

y (1 + 2 (0)) = 0

y = 0

Mais uma solução pode ser encontrada escolhendo  y = 1 a primeira equação.

Então a segunda equação se torna:

1 (1 + 2 x) = 0

1 + 2 x = 0

x = - (1)/(2)

Assim, existem dois pontos críticos  ( 0,0 ) e ( - (1)/(2) , 1 ) .

Passo 2

b)

O objetivo é esboçar o campo de direção e o retrato de fase do sistema.

Use os comandos MAPLE para obter o campo de direção e o retrato da fase do sistema.

Carregue o pacote com (DEtools) e use o comando DEplot para obter as curvas da solução no campo de direção.

Comandos de entrada do Maple:

> com (DEtools):

> DEplot ([diff (x (t), t) = x (t) -x (t) * y (t), diff (y (t), t) = y (t) + 2 * x (t) * y (t)], {x (t), y (t)}, t = 0..4, [[x (0) = - 1, y (0) = - 1], [x (0) = -0,5, y (0) = - 0,5], [x (0) = - 1, y (0) = 0,2], [x (0) = 0,4, y (0) = 0,4], [x (0 ) = 0,6, y (0) = 0,6], [x (0) = - 0,6, y (0) = 1], [x (0) = - 0,7, y (0) = 1], [x (0 ) = - 0,9, y (0) = 1]], x = -2..2, y = -2..2, setas = médio, tamanho médio = 0,05, cor da linha = azul);

Passo 3

c)

O objetivo é determinar se cada ponto crítico é assintoticamente estável, estável ou instável.

A partir dos retratos da fase acima, observe que todas as trajetórias que começam na origem divergem.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó instável.

Examine as curvas de fase próximas ao ponto crítico  (- (1)/(2) , 1) da figura, o ponto de equilíbrio tem as propriedades da sela e, portanto, é instável.

Passo 4

d)

O objetivo é descrever a bacia de atração para cada ponto crítico assintoticamente estável.

A partir da figura, observe que não há ponto de equilíbrio assintoticamente estável.

Resposta

a) existem dois pontos críticos  ( 0,0 ) e ( - (1)/(2) , 1 ) .

b)

c) O ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó instável.

O ponto crítico  (- (1)/(2) , 1) da figura, o ponto de equilíbrio tem as propriedades da sela e, portanto, é instável.

d)O objetivo é descrever a bacia de atração para cada ponto crítico assintoticamente estável.

A partir da figura, observe que não há ponto de equilíbrio assintoticamente estável.

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