Enunciado

Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f ( x ) e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. DÊ então um valor de δ > 0   tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

f x = 19 - x ,     L = 3 ,     x 0 = 10 ,     ϵ = 1

Passo 1

Vamos ver quais os valores que x precisa assumir para que a desigualdade f x - L < ϵ seja satisfeita:

f x - L = 19 - x - ( 3 )

Logo,

19 - x - ( 3 ) < 1

Passo 2

Temos a seguinte propriedade do módulo:

a < b → - b < a < b

Logo no nosso caso

19 - x - ( 3 ) < 1 → - 1 < 19 - x - ( 3 ) < 1

Portanto,

- 1 + 3 < 19 - x - 3 + 3 < 1 + 3 → 2 < 19 - x < 4

4 < 19 - x < 16 → 3 < x < 15

Passo 3

Agora vamos ver o valor de δ que satisfaz x - x 0 < δ . Antes de mais nada no nosso caso temos x 0 = 1 / 4 , logo

x - 10 < δ

Pela propriedade do módulo que eu mostrei acima, temos que

- δ < x - 1 0 < δ

Logo,

- δ + 10 < x - 10 + 10 < δ + 10 → - δ + 10 < x < δ + 10

Passo 4

Agora qual o intervalo dos valores de x que satisfaz f x - L < ϵ ? Isso mesmo, o intervalo descoberto no passo 2 ( 3 < x < 15 ) !

Então o intervalo do passo 3 tem que coincidir com o do passo 2, ou seja

- δ + 10 = 3 → δ = 7

Ou

δ + 10 = 15 → δ = 5

Ficaremos sempre com o menor valor para δ !

Resposta

δ = 5

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