Lista de Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

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Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → - ∞ ⁡ x n - x n - 1  

Obs: considere n ∈ N

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Suponha lim x → - 2 ⁡ p x = 4   ,   lim x → - 2 ⁡ r x = 0   e   lim x → - 2 ⁡ s x = - 3   . Determine:

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x

b lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x

c lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x

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Avalie o seguinte limite:

l i m x → 1 2 x 2 e x  

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Se lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 , determine:

a lim x → 0 ⁡ f x

b lim x → 0 ⁡ f x x

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Calcule os limites:

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x

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Aplique as propriedades dos limites e calcule o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

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Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa justificando:

Se lim x → a ⁡ f x = 0 e lim x → a ⁡ g x = ∞ , então lim x → a ⁡ f x g x = 0

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Considere a seguinte proposição: Se lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0 , então b n → ∞

  1. a n = 1 n 2 e b n = 1 n é um exemplo para a proposição?
  2. A proposição é verdadeira ou falsa?

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Calcule os limites:

b   lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x - 3 arctg ⁡ 5 x

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Questão 1. Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista. justifique suas respostas.

d)

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 7

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Calcule:

lim x → 1 ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + x + 1

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Calcule os limites abaixo. Justifique suas respostas.

a lim x → 2 ⁡ x 3 - 6 x + 7 x 2 + 1

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Calcule ou argumente que os valores não existem. Em todos os casos justifique seus cálculos e respostas.

a   lim x → ∞ ⁡ e 1 - x

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i) Sem utilizar a regra de L’Hospital calcule os seguintes limites

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 e 1 x - 1

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Sejam f , g : I R → ] 0 , + ∞ [ tais que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ então:

  1. Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
  2. Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞
  3. Podemos ter lim x → + ∞ ⁡ f x g x = 0
  4. Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞
  5. Podemos ter lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - ∞

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Considere funções f , g : I R → I R com g limitada. Assinale a afirmação incorreta

  1. Se f x < 0 , para todo x ∈ I R e lim x → 0 ⁡ f x = 0 , então lim x → 0 ⁡ g x + 1 f x = - ∞
  2. Se lim x → 0 ⁡ f x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ g x f x = 0
  3. Se lim x → 0 ⁡ f x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x + g x = + ∞
  4. Se lim x → 0 ⁡ f x = 0 , então lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = 0
  5. Se lim x → 0 ⁡ f x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x g x = + ∞

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Considere funções f , g : I R → I R com f limitada. Assinale a afirmação incorreta

  1. Se g x < 0 , para todo x ∈ I R e lim x → 0 ⁡ g x = 0 , então lim x → 0 ⁡ f x + 1 g x = - ∞
  2. Se lim x → 0 ⁡ g x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x g x = 0
  3. Se lim x → 0 ⁡ g x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x + g x = + ∞
  4. Se lim x → 0 ⁡ g x = 0 , então lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = 0
  5. Se lim x → 0 ⁡ g x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x g x = + ∞

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Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista. Justifique suas respostas.

c lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4

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Calcule o seguinte limite:

lim x → + ∞ ⁡ e - 1 x ln ⁡ x

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Calcule o limite

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x log 3 ⁡ ( x )

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Dada f : R → R . Suponhamos que lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞ . Então:

  1. f é decrescente
  2. lim x → + ∞ ⁡ f ( x ² ) = + ∞
  3. ∀ m ≥ 0 , temos f x ≤ 0 se x > m
  4. lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞
  5. Nenhuma das respostas acima é correta

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Conteúdos Complementares

Conceitos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

Propriedades de Limites