Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

2. x 2 y ' ' - x ( 2 + x ) y ' + ( 2 + x 2 ) y = 0

Passo 1

a) Beleza, o ponto singular desse caso, que zera o primeiro termo, é x = 0 .

Escrevendo a equação do seguinte jeito:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

E dividindo equação por P ( x ) e multiplicando por x 2 , ela fica:

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Como

P x = x 2

Q x = - x ( 2 + x )

R x = 2 + x 2

Agora aplicamos o limite com x tendendo a zero para as duas razões, dessa foram saberemos se ele é regular:

p 0 = lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x ( - x 2 + x ) x 2 = lim x → 0 ⁡ - x - 2 = - 2

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 2 + x 2 ) x 2 = lim x → 0 ⁡ 2 + x 2 = 2

Como os limites são finitos, o ponto é singular regular.

Passo 2

b) Escrevendo a equação indicial pela definição:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Substituindo p 0 e q 0 que obtivemos pelos limites:

r r - 1 - 2 r + 2 = 0

r 2 - 3 r + 2 = 0

Calculamos a raiz por Bhaskara, e o resultado é:

r = 3 ± 1 2

r 1 = 2

r 2 = 1

Sendo a solução da equação indicial, os expoentes na singularidade = 0 .

Resposta

a   x = 0

b   r 2 - 3 r + 2 = 0

r 1 = 2

r 2 = 1

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