Série de Potência

Resumo

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No momento você está na página do assunto Série de Potência e, logicamente, é sobre isso que vamos falar aqui. Bora lá?

O que são séries de potência?

As séries de potência são a junção de dois mundos: o mundo das potências e o mundo das séries.

As séries nada mais são do que somas de termos. Por exemplo, quero somar todos os números pares: $2+4+6+8+10+12+...$ Note que podemos representar esses números pares por $2n$, quando $n$ vale $1$ meu número par é $2$, quando $n$ vale $2$ meu número par é $4$ e assim por diante, então para somar todos os números pares eu posso fazer a soma de $2n$, com $n$ variando de $1$ até infinito, porque temos infinitos números pares, correto?

E com isso temos uma série desse jeito aqui:

$$Soma~ dos~ números~ pares =\sum_{n=1}^{\infty} 2n$$

Esse $2n$ é o que chamamos de termo geral da série.

Agora vamos pensar nas potências. As potências são termos nos quais temos um número elevado a um expoente. Por exemplo; $x^2$, $x^4$, $x^5$, ... são potências de $x$.

Agora, quando dizemos que temos uma série de potência, estamos dizendo que temos um somatório de termos que são potências, ou seja, o termo geral da minha série é uma potência. Dá uma olhada aqui.

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n$$

Nós temos uma série infinita, pois estamos somando infinitos termos. Além disso, podemos afirmar que é uma série de potência porque o termo geral é do tipo $c_nx^n$, são potências de $x$. Deu pra entender?

Esse $c_n$ representado no termo geral é um coeficiente constante qualquer, que é determinado de acordo com o valor de $n$:

Agora vamos expandir essa série aí:

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n=c_0x^0+c_1x^1+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+c_5x^5+c_6x^6+....$$

Consegue perceber que o que temos é justamente um polinômio de $x$ e infinito?

Olha esse polinômio aqui: $P(x)=3x^2+2x+1$

Podemos escrever ele em série de potência, desse jeito aqui:

$$P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n=1+2x+3x^2$$

Note que os coeficientes $c_n$ s��o: $c_0=1$, $c_1=2$ e $c_2=3$, e que os demais coeficientes com $n$ maior que $3$ são nulos.

Show de bola, não é? Então já vimos o que são séries de potência e que podemos até pegar uma função polinomial em $x$ e escrever ela em série de potência, como fizemos aí em cima.

Mas sabe qual é o mais legal? É que podemos pegar funções sem ser polinomiais, funções trigonométricas, função exponencial, etc., e escrever elas também em série de potência 😱

Ficou curioso, não é mesmo?

É isso e muito mais que você vai aprender aqui no assunto Série de Potência. Para você não ficar perdido no seu estudo nós separamos todo o conteúdo de série de potência que você precisa saber para arrebentar na sua prova em capítulos e tópicos. Essa divisão incrível está no Raio-X aqui em baixo 👇🏽. Aproveita essa oportunidade para ter um estudo direcionado, rápido e descontraído. 😉

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Livros Resolvidos

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  • Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - Louis Leithold
  • Cálculo -  Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)
  • Um curso de Cálculo Volume 1 - Hamilton Luiz Guidorizzi
  • Um curso de Cálculo Volume 2 - Hamilton Luiz Guidorizzi
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  • Conteúdos Complementares

    Conceitos de Série de Potência

    Série de MacLaurin