Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.

9.

sen ⁡ x ,         x 0 = 0

Passo 1

Fala galera!!!

O problema nos forneceu a seguinte função:

f x = sen ⁡ x

no ponto x 0 = 0 .

Nosso objetivo, é obter a série de Taylor da função dada sobre o ponto  x 0 , e também, determinar o raio de convergência da série.

Passo 2

No livro, podemos encontrar que a série de Taylor de uma função  f x sobre o ponto  x 0 é dada por:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 1 1 ! + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 ! + f ' ' ' x 0 x - x 0 3 3 ! + …

Ou seja:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n x 0 n ! x - x 0 n

Passo 3

Tendo em mente o que foi dito acima, vamos calcular os primeiros termos da série de Taylor para a função dada, com o objetivo de encontrar um termo geral que define a série. Assim temos:

f x = sen ⁡ x → f x 0 = sen ⁡ 0 = 0

f ' x = d d x sen ⁡ x = cos ⁡ x → f ' x 0 = cos ⁡ 0 = 1

f ' ' x = d d x cos ⁡ x = - sen ⁡ x → f ' ' x 0 = - sen ⁡ 0 = 0

f ' ' ' x = d d x - sen ⁡ x = - cos ⁡ x → f ' ' ' x 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

f 4 x = d d x - cos ⁡ x = sen ⁡ x → f 4 x 0 = sen ⁡ 0 = 0

f 5 x = d d x sen ⁡ x = cos ⁡ x → f 5 x 0 = cos ⁡ 0 = 1

A partir desse ponto podemos ver que os termos da série apresentação um padrão.

Passo 4

Assim, temos que a serie fica da seguinte forma:

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 1 1 ! + f ' ' 0 x - 0 2 2 ! + f ' ' ' 0 x - 0 3 3 ! + f 4 0 x - 0 4 4 ! + …

Substituindo, temos:

f x = 0 + 1 x - 0 1 1 ! + 0 x - 0 2 2 ! + - 1 x - 0 3 3 ! + 0 x - 0 4 4 ! + 1 x - 0 5 5 ! + …

f x = 0 + x 1 1 ! + 0 + - x 3 3 ! + 0 + x 5 5 ! + …

f x = x 1 1 ! + - x 3 3 ! + x 5 5 ! + …

Logo, podemos escrever a f x da seguinte maneira:

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Assim, a representação da série Taylor para a f x é  ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! .

Passo 5

Agora, queremos encontrar o raio de convergência da série que encontramos acima:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 6

Temos que:

a n = - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Então:

a n + 1 = - 1 n + 1 x 2 n + 1 + 1 2 n + 1 + 1 !

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 n + 1 + 1 2 n + 1 + 1 ! - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 n + 1 + 1 2 n + 1 + 1 ! ⋅ 2 n + 1 ! - 1 n x 2 n + 1

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 n + 3 2 n + 3 ! ⋅ 2 n + 1 ! - 1 n x 2 n + 1

= lim n → ∞ ⁡ - 1 ⋅ - 1 n x 3 ⋅ x 2 n 2 n + 3 ⋅ 2 n + 2 ⋅ 2 n + 1 ! ⋅ 2 n + 1 ! - 1 n x ⋅ x 2 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 ⋅ x 2 2 n + 3 ⋅ 2 n + 2 ⋅ 1 1

= lim n → ∞ ⁡ - 1 ⋅ x 2 2 n + 3 ⋅ 2 n + 2

= x 2 lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n + 3 ⋅ 2 n + 2

= x 2 0

= 0

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0 < 1

Passo 7

Uma vez que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

para todos x ∈ R , pelo teste Razão, a série converge para todos os números reais.

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = ∞ .

Resposta

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

ρ = ∞

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