Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

23.

( x   +   3 ) y ″   -   2 x y '   +   ( 1   –   x 2 ) y   =   0  

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

( x   +   3 ) y ″   -   2 x y '   +   ( 1   –   x 2 ) y   =   0  

Nossa função P é

P x =   ( x   +   3 )

Com isso nosso ponto singular é

x =   - 3

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade desse ponto agora

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → - 3 ⁡ x + 3 -   2 x x + 3

=   6

Beleza esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → - 3 ⁡ x + 3 2 ( 1   –   x 2 ) x + 3

= 0

Show ! Os dois limites existem, logo o ponto x = - 3   é regular.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Nosso ponto singular é

x = - 3 → Regular

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1 - x ' = x + y + t ,y ' = 4 x– 2 y ; x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 0
6 - x ' = exp ⁡ ( - x + y ) - cos ⁡ x ,y ' = sen ⁡ ( x - 3 y ); x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 2
3 - Considere novamente o problema de valor inicial (16) do Exemplo 2. Investigue o quão pequeno tem que ser o tamanho do passo h para garantir que o erro em t=0,05 e em t = 0,1 seja menor do que 0,00
1 - Para obter alguma ideia dos perigos possíveis de pequenos erros nas condições iniciais, taiscomo aqueles decorrentes de arredondamentos, considere o problema de valor inicial y ' = t + y -3 , y 0
2 - Considere o problema de valor inicial y ' = t 2 + e y , y 0 = 0 .Usando o método de Runge-Kutta com tamanho de passo h, obtemos os resultados na Tabela8.6.5. Esses resultados sugerem que a solução