Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

y ″ + ( ln ⁡ | x | ) y ' + 3 x y   =   0

Passo 1

Sendo a nossa equação:

y ″ + ( ln ⁡ | x | ) y ' + 3 x y   =   0

A partir da equação dada podemos dizer que: P ( x ) = 1 , Q ( x ) = ln ⁡ x e R ( x ) = 3 x .

Como Q x P x = ln ⁡ x e R x P x = 3 x , o único ponto singular é x 0 = 0 .

Como temos um coeficiente ( Q ( x ) ) mais geral que um polinômio, o critério para x 0   =   0 ser um ponto singular regular é para as expressões:

x - x 0 Q x P x = x   ln ⁡ x  

E também:

x - x 0 2 R x P ( x ) = 3 x 3

Ter séries convergentes de Taylor sobre x 0 = 0 . Como ln ⁡ x não possui séries convergentes de Taylor sobre x 0 = 0 , também não tem x   ln ⁡ x . Assim   x 0 é um ponto singular irregular.

Resposta

x 0 = 0 é irregular.

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