Enunciado

Neste problema, vamos mostrar que a convergência pontual de uma sequência Sn(x) não implica convergência na média e reciprocamente.

Seja . Mostre que Sn(x) → 0 quando n → ∞ para cada x em 0 ≤ x ≤ 1. Mostre, também, que

e, portanto, Rn → ∞ quando n → ∞. Logo, a convergência pontual não implica convergência na média.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

S n x = n x e - n x 2

Para a função, temos que:

R n = ∫ [ 0 - S n x ] ² d x = n 2 ( 1 - e - n )  

l i m ⁡ S n = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

∫ 0 - S n x 2 d x = n 2 ∫ x e - n x 2 d x

R n = n 2 ( 1 - e - n )    

Resposta

R n = n 2 ( 1 - e - n )    

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Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais. y ' ' - λ y = 0 ; y 0 = 0 ; y ' L = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + y = 0 y ' ( 0 ) = 1 ; y L = 0
Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais. y ' ' + λ y = 0 ; y ' 0 = 0 ; y ' L = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + y = x y 0 = 0;y π = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + 4 y = cos ⁡ x y 0 = 0;y π = 0