Enunciado

Em cada um dos Problemas de 36 a 39, use o método do Problema 35 para resolver a equação diferencial dada.

y ' ' + 2 y ' = 3 + 4 sen ⁡ 2 t

Passo 1

Primeiro, encontraremos a solução para a equação característica:

y ' ' + 2 y ' = 3 + 4 sen ⁡ 2 t

Analisando a parte homogênea temos:

y ' ' + 2 y ' = 0

Reescrevendo:

r 2 + 2 r = 0

r ( r + 2 )

r 1 = 0

r 2 = - 2

Podemos escrever a solução homogênea como:

y c = c 1 e 0 + c 2 e - 2 t

y c = c 1 + c 2 e - 2 t

Passo 2

De acordo com o problema 35, a equação na forma y ' ' + b y ' + c y = g ( t ) pode ser reescrita como D - r 1 D - r 2 y = g ( t ) , se r 1 + r 2 = - b e r 1 r 2 = c .

A solução da equação pode ser resolvida com duas equações de primeira ordem:

D - r 1 u = g t ,       D - r 2 y = u ( t )

Se b = 2 ,   c = 0 ,   g t = 3 + 4 sen ⁡ 2 t

Então: r 1 + r 2 = - 2 ,   r 1 r 2 = 0

Resolvendo as duas equações simultaneamente, podemos dizer que :

r 1 = 2 ,   r 2 = 0

Agora, vamos resolver primeiro a equação de primeira ordem:

D - 2 u = 3 + 4 sen ⁡ 2 t

d u d t + 2 u = 3 + 4 sen ⁡ 2 t

Integrando podemos ter que, onde p t = 2 que é uma das raizes :

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ 2 d t = e 2 t

Multiplicando a equação pelo fator integrante.

d u d t e 2 t + 2 u e 2 t = 3 e 2 t + 4 e 2 t sen ⁡ 2 t

Isolando:

u e 2 t ' = 3 e 2 t + 4 e 2 t sen ⁡ 2 t

Integrando de ambos os lados:

u e 2 t = 1 2 e 2 t 2 sen ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + 3

u = 1 2 2 sen ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + 3

Passo 3

Agora, resolvemos a outra equação:

D - 0 y = u t

D y = 1 2 2 sen ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + 3

D y d t = 1 2 2 sen ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + 3

Integrando dos dois lados:

y = 1 2 - cos ⁡ 2 t - s en ⁡ 2 t + 3 t

Y t = 3 2 t - 1 2 sen ⁡ 2 t - 1 2 cos ⁡ 2 t

A solução y = y c + Y ( t ) :

y = c 1 + c 2 e - 2 t + 3 2 t - 1 2 sen ⁡ 2 t - 1 2 cos ⁡ 2 t

Resposta

y = c 1 + c 2 e - 2 t + 3 2 t - 1 2 sen ⁡ 2 t - 1 2 cos ⁡ 2 t

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