Lista de Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = cos ⁡ 3 x

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Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Com as seguintes condições iniciais

y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

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Se A ∈ R , a equação diferencial y ' ' - 6 y ' + 9 y = 3 e 3 x tem uma solução da forma

(a) e 3 x + A x e 3 x

(b) A e 3 x

(c) A x e 3 x

(d) nenhuma das outras alternativas

(e) x e x + A x ² e 3 x

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  1. Determine o conjunto C dos valores de a ∈ R tais que a equação diferencial

y ' ' t + 4 y t = sen ⁡ a t

Possui uma solução particular da forma y p t = A sen ⁡ a t

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Se y 1 e y 2 são duas soluções particulares da equação não homogênea a y ' ' + b y ' + c y = G ( x ) , a diferença y = y 1 - y 2 é:

(a) A solução geral da mesma equação a y ' ' + b y ' + c y = G x

(b) Uma solução particular da equação homogênea a y ' ' + b y ' + c y = 0

(c) A solução geral da mesma equação homogênea a y ' ' + b y ' + c y = 0

(d) Uma solução particular da mesma equação a y ' ' + b y ' + c y = G ( x )

(e) Nenhuma das outras opções.

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a) Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' + y ' - 2 y = 3 e - 2 x

b) Determine o valor de v 0 de modo que a solução da equação acima com condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = v 0 seja limitada no intervalo 0 , + ∞ .

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Se A ∈ R , a equação diferencial y ' ' + 4 y ' + 4 y = 3 e - 2 x tem uma solução da forma

(a) e - 2 x + A x e - 2 x

(b) A e - 2 x

(c) A x e - 2 x

(d) nenhuma das outras alternativas

(e) x e - x + A x ² e - 2 x

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Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = e - x

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Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª Ordem não-homogênea com coeficientes lineares, tomando y 0 = 0 , y ' 0 = 0

2 d 2 y d t 2 + 2 t d y d t - 4 y = 2

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Considere a equação diferencial y ' ' + a 2 y = A sen ⁡ a t , onde a e A são constantes reais diferentes de zero. Então a solução geral da equação diferencial é (onde C 1 e C 2 são constantes reais arbitrárias):

  1. y = C 1 t cos ⁡ a t + C 2 t sen ⁡ a t - A 2 a sen ⁡ a t
  2. y = C 1 t cos ⁡ a t + C 2 t sen ⁡ a t - A 2 a cos ⁡ a t
  3. y = C 1 cos ⁡ a t + C 2 sen ⁡ a t - A 2 a t sen ⁡ a t
  4. y = C 1 t cos ⁡ a t + C 2 t sen ⁡ a t - A 2 a t cos ⁡ a t
  5. y = C 1 cos ⁡ a t + C 2 sen ⁡ a t - A 2 a t cos ⁡ a t

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Resolva os problemas de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função f ( x ) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

(c)

y ' ' - 9 y ' + 14 y = e 3 x

y 0 = 0

y ' 0 = 1

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Resolva o PVI

2 y ' ' + y ' + 2 y = c o s h x ,             y 0 = - 1 ,           y ' 0 = 2

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Encontre todas as soluções da EDO:

y ' ' - y ' + y 4 - 3 = e x / 2

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Encontre todas as soluções da EDO:

y ' ' + y = 8 sen 2 ⁡ x

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Considere a equação

y ' ' x + b y ' + c y = 0

Onde b e c ∈ R

  1. Determine b   e   c de forma que y 1 x = cos ⁡ x seja a solução da EDO acima.
  2. Utilizando os valores de b e c encontrados no item anterior, determine a solução geral de

y ' ' + b y ' + c y = cos ⁡ 2 x

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Usando o método de coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da equação diferencial

y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = 6 x 2

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Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + y ' + y = e t

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Uma solução particular de

y " + 2 y ' + 3 y = s e n   2 x

É do tipo:

  1. A c o s 2 x + B s e n 2 x
  2. A x c o s 2 x + B x s e n 2 x
  3. A s e n   2 x
  4. A x s e n   2 x
  5. A c o s   2 x

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Uma função F :   R →   R se diz limitada se existem uma constante M > 0 tal que F ( x ) ≤ M para todo o x   ∈ R . Qual o valor de ω tal que a equação diferencial

y "   - 2 y ' + 5 y = c o s ⁡ ( ω x )

Não tenha soluções limitadas?

  1. ω = - 1
  2. ω = - 2
  3. ω = 2
  4. n e n h u m a   d a s   d e m a i s   a l t e r n a t i v a s
  5. ω = 1

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A solução geral de y "   - 4 y ' + 4 y =   e 2 x pode ser escrita na forma y x =   y h x +   y p ( x ) , onde y h x é a solução da equação homogênena associada e y p x É da forma:

  1. n e n h u m a   d a s   d e m a i s   a l t e r n a t i v a s
  2. A e 2 x + B x e 2 x
  3. A e 2 x
  4. A x e 2 x
  5. A x ² e 2 x

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Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2 ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + p y ' + q y = e - p t 2

Sabendo que p 2 - 4 q < 0 .

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Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2 ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + p y ' + q y = e α t cos ⁡ β t

Onde α = - p 2 , β = q - p 2 4 . Tome y t = e - p t 2 u ( t ) . Considere p = q = 2 .

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Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' + 2 y ' + y = 2 e - x

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Determine uma equação diferencial de modo que a função

y t = C 1 e 3 t sen ⁡ 2 t + C 2 e 3 t cos ⁡ 2 t + t e - t ,     t ∈ R

seja a solução geral da EDO.

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  1. Considere a EDO

a y ' ' + b y ' + c y = e k x

onde a , b , c , k ∈ R .

Suponha que a equação característica da EDO acima possui duas raízes distintas sendo k uma delas, mostre que podemos encontrar uma solução particular na forma y p = A x e k x , onde

A = 1 2 a k + b .

Explique como sabemos que k ≠ - b / 2 a .

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Questão 3: Sejam Y 1 = Y 1 t e Y 2 = Y 2 t duas soluções da equação diferencial

y ' ' + 2 y ' - 3 y = 5 e t

Suponha que Y 1 ' 0 = Y 2 ' 0 . Então podemos afirmar que, para todo t ∈ R , temos:

  1. Y 1 - Y 2 = C 3 e t + e - 3 t , para algum C ∈ R .
  2. Y 1 - Y 2 = C e t + 3 e - 3 t , para algum C ∈ R .
  3. Y 1 - Y 2 = C 3 e t - e - 3 t , para algum C ∈ R .
  4. Y 1 - Y 2 = C 2 e t - 3 e - 3 t , para algum C ∈ R .
  5. Y 1 - Y 2 = C 2 e t - e - 3 t 3 , para algum C ∈ R .

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Teste 7: Considere os problemas

y ' ' + 2 y ' + 2 y = sin ⁡ x

e

y ' = x 2 y 2 ,     y 0 = 1

Analise as seguintes afirmações:

  1. A solução do segundo problema possui um ponto de inflexão na origem.
  2. A equação linear possui pelo menos uma solução par.
  3. Todas as soluções da equação linear são ímpares.

São verdadeiras:

  1. Apenas I I .
  2. Apenas I I e I I I .
  3. Apenas I e I I I .
  4. Apenas I e I I .
  5. Apenas I .

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Questão 4: Qual é a solução da equação diferencial y ' - 3 y = e 2 x satisfazendo a condição inicial y 0 = 3 ?

  1. y x = 4 e 3 x - e 2 x .
  2. y x = 4 e 3 x - e 4 x .
  3. y x = 5 e 4 x - 2 e 2 x .
  4. y x = 2 e 3 x + e 2 x .
  5. Nenhuma das demais alternativas.

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Lembre que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ / 2 . A equação y ' ' - 2 y ' + y = cos 4 ⁡ x tem uma solução particular da forma (onde as letras minúsculas representam constantes arbitrárias):

  1. y p x = A + B sin ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + D sin ⁡ 4 x + E cos ⁡ 4 x .
  2. y p x = A cos ⁡ 2 x + B cos ⁡ 4 x
  3. y p x = A sin 4 ⁡ x + B cos ⁡ 4 x
  4. y p x = A + B sin ⁡ 4 x + C cos ⁡ 4 x
  5. Nenhuma das demais alternativas.

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Teste 8: Um menino utiliza um estilingue para disparar verticalmente para cima uma pedra de massa m > 0 a uma velocidade inicial v 0 . A resistência do ar exerce um amortecimento do movimento proporcional à velocidade do corpo, exercendo uma força de intensidade k v quando a velocidade da pedra é v , sendo k > 0 consatante. Considerando que a aceleração da gravidade é constante e igual a g , então a altura máxima atingida pela pedra é:

  1. m v 0 k + 2 g m 2 k 2 ln ⁡ g m g m + k v 0
  2. m v 0 k - g m 2 k 2 ln ⁡ g m g m - k v 0
  3. m v 0 k + g m 2 k 2 ln ⁡ g m g m - k v 0
  4. m v 0 k + g m 2 k 2 ln ⁡ 2 g m g m + k v 0
  5. m v 0 k - g m 2 k 2 ln ⁡ 2 g m g m + k v 0

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Encontre a solução geral da equação diferencial y ' '   - 3 y '   - 4 y   = 4 e 3 x

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Calcule a solução geral da EDO   y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   3 e - 2 t .

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Calcule a solução geral da EDO y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   5 e t .

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Um sistema massa-mola é governado pelo problema de valores iniciais:

2 x ' ' t + 8 x ' t + 8 x t = 4 e - 2 t ,     x 0 = 0 ,       x ' 0 = 1

A posição da mola no instante t = 3 é:

  1. 14 e - 12
  2. 12 e - 6
  3. 10 e - 28
  4. 7 e - 10
  5. 12 e - 12

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Sabe-se que y ' ' +   a y + y = e x tem uma solução particular da forma y = B x 2 e x , para alguma constante real B . Então:

  1. a = 1
  2. a = - 1
  3. a = - 2
  4. a = 0
  5. Nenhuma das demais alternativas.

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Sabendo que x h t = C 1 e t + C 2 e 3 t , t   ϵ   R é solução geral de uma equação homogênea da forma x ' ' + b x ' + c x = 0 , com b, c constantes, determine b e c e encontre a solução geral da equação não-homogênea x ' ' + b x ' + c x = 8 e 3 t

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Questão 3 (Justifique todas as suas respostas):

Encontre a solução do PVI:

y ' ' - 2 y ' + y = e 2 t y 0 = 1 ,     y ' 0 = 1

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Questão 4: (Justifique todas as suas respostas)

Encontre a solução do seguinte PVI:

y ' ' t - 2 y ' t - 3 y t = 3 t e 2 t y 0 = 1 y ' 0 = 0

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Sabendo-se que y " + a y ' + y = e x   tem uma solução particular da forma y = A x 2 e x , para alguma constante real A . Então, quanto vale a ?

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A equação diferencial y " + 4 y ' + 4 y = 3 e - 2 x   tem uma solução da forma, com A ≠ 0 , B ≠ 0 :

a nenhuma das demais

b y = A x e - 2 x

c y = A x e - x + B x 2 e - 2 x

d y = A e - 2 x + B x e - 2 x

e y = A e - 2 x

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