Enunciado

Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução ϕ .

20. y ' = t + y ,     y 1 = 3

Passo 1

Bora lá pro nosso probleminha!

Olha só! Seja φ ( t ) uma solução para o problema do valor inicial.

O erro de truncamento local para o método Euler, no intervalo t n   ≤   t   ≤   t n + 1   , é dado por...

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' t - n h 2

Sendo que t - n vai estar contido no intervalo abaixo...

t n   < t - n < t n + 1  

Passo 2

Agora, vamos trocar y por ϕ ( t ) substituindo na equação diferencial que nos é dada...

ϕ ' t = t + ϕ ( t )

Derivando essa expressão, ficamos com...

ϕ ' ' t = 1 + ϕ ' ( t ) 2 t + ϕ ( t )

Só que anteriormente, descobrimos que...

ϕ ' ( t ) = t + ϕ ( t )

Aproveitando-se dessa relação na equação que derivamos:

ϕ ' ' t = 1 + ϕ ' ( t ) 2 t + ϕ ( t )

ϕ ' ' t = 1 + t + ϕ ( t ) 2 t + ϕ ( t )

ϕ ' ' t = 1 2 t + ϕ ( t ) + 1 2

Desse modo, a nossa fórmula para o erro e n + 1 de truncamento local vai ser:

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' t - n h 2

e n + 1 = 1 2 1 2 t - n + ϕ t - n + 1 2 ⋅ h 2

e n + 1 = 1 4 t - n + ϕ t - n + 1 4 ⋅ h 2

e n + 1 = h 2 4 1 t - n + ϕ t - n + 1

Não podendo esquecer do intervalo de t - n ...

t n   < t - n < t n + 1

Resposta

e n + 1 = e n + 1 = h 2 4 1 t - n + ϕ t - n + 1 ,     t n   < t - n < t n + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelomét
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelomét
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelomét
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelomét
Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025. (b) Useo método