Enunciado

Uma caixa aberta deve ser feita com uma folha de metal de 3 por 8   c m , cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Encontre o volume máximo que uma caixa dessas pode ter.

Passo 1

Vamos refletir, olhando o desenho abaixo:

Temos essa folha aí, vamos tirar esses quadradinhos pontilhados da folha e dobra-lá para fazer uma caixa. Queremos descobrir o volume máximo da caixa.

Para descobrir isso, a gente precisa encontrar uma função que descreve o volume e descobrir o maior valor dela.

Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

Vamos chamar os lados desses quadradinhos de x :

Vamos imaginar que já tiramos os quadradinhos e dobramos a caixa. Olhando a figura, volume dela é dado pela expressão:

V = x ⋅ a ⋅ b

Passo 3

A gente também pode escrever uma expressão para a e b , olhando nossa figura:

a = 3 - 2 x

E:

b = 8 - 2 x

Reescrevendo o volume:

V = x 3 - 2 x 8 - 2 x = 4 x 3 - 22 x 2 + 24 x

E como x é uma dimensão, ele dever ser maior que zero.

Passo 4

Com a expressão do volume, podemos tentar descobrir o valor máximo dela. Vamos verificar os valores de x onde V ' x = 0 .

Vamos derivar essa função da área e igualar a zero:

V ' x = 12 x 2 - 44 x + 24

Igualando a zero:

12 x 2 - 44 x + 24 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau:

x = 3 ,     x = 2 3

Como são todos positivos, esses serão os nossos candidatos para x .

Passo 5

Agora para descobrir qual é o maior volume, a gente precisa jogar esses valores de x na nossa expressão para o volume:

V ( x ) = 4 x 3 - 22 x 2 + 24 x

V 3 = 4 ⋅ 3 3 - 22 ⋅ 3 2 + 24 ⋅ 3 = - 18

V 2 3 = 4 ⋅ 2 3 3 - 22 ⋅ 2 3 2 + 24 ⋅ 2 3 = 200 27 c m 3

Logo, o nosso volume máximo ocorre em x = 2 / 3 e o volume máximo é:

V = 200 27 c m 3

Resposta

V = 200 27 c m 3

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