Exercícios de Máximos e Mínimos - Lista de Exercícios Resolvida

Se:

Identifique os valores extremos locais da função nos domínios dados e informe onde ela os assume.

Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

1. Mostre que a função

Possui um máximo absoluto em

Considere o polinômio , onde e são constantes reais. É possível determinar valores para e tais que o gráfico de tem um ponto de máximo local quando e um ponto de inflexão quando ?

Sendo:

Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente.

Em seguida, identifique os valores extremos locais da função, se houve, informando onde ela os assume.

Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

Identifique os pontos de máximo e mínimo e de inflexão da função abaixo.

1. Sejam o valor máximo e o valor mínimo que a função assume em . Então é igual a:

A

B

C

D

E

1. Sejam o valor máximo e o valor mínimo que a função assume em . Então é igual a:

A

B

C

D

E

1. Sejam o valor máximo e o valor mínimo que a função assume em . Então é igual a:

A

B

C

D

E

1. Sejam o valor máximo e o valor mínimo que a função assume em . Então é igual a:

A

B

C

D

E

Nos próximos 5 testes assinale “verdadeiro” ou “falso” para cada uma das afirmações.

Para estes testes, seja uma função derivável cuja derivada é dada por

17. A função possui um único ponto crítico.

18. A função possui um único máximo local.

19. A função é descrecente em .

20. A função tem exatamente dois pontos de inflexão.

21. .

Encontre o ponto de mínimo de e conclua que , para todo ;

Questão 5 - Seja . Sabendo que e para todo , determine, caso existam:

(a) assíntotas horizontais e verticais do gráfico de ;

(b) intervalos onde é crescente e intervalos onde é decrescente;

(c) máximos e mínimos locais de ;

(d) intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima e intervalos onde o gráfico de é côncavo para baixo;

(e) pontos de inflexão do gráfico de .

Utilizando os resultados dos itens anteriores, esboce o gráfico de .

Uma escada de 5 metros de comprimento est ́a apoiada em uma parede vertical. Sabendo-se que o p? é da escada se afasta da parede a uma velocidade de 10 cm/s, qual a velocidade com que cai verticalmente o topo da escada?

Seja

1. Determine o domínio de
2. Explique porque a função é ímpar
3. Determine os extremos locais de . (Abscissa e Ordenada) Identificando se eles são máximos ou mínimos. São Globais? Porque?
4. Calcule os limites das extremidades de todos os intervalos que compõem o domínio

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função .

4. Seja

a) Encontre os intervalos onde é crescente ou decrescente;

b) Determine os pontos de e classifique-os como sendo pontos de máximo, de mínimo ou nem de máximo, nem de mínimo (se existirem);

c) Determine os intervalos onde é côncova para cma e côncava para baixo e os seus pontos de inflexão;

d) Esboce o gráfico de usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens anteriores.

Considere a função cuja derivada é

(e) os pontos de mínimo local de

Um homem de 2 m de altura se move em direção a um a poste de luz a uma velocidade de 5 m/s. Do alto deste poste, uma lâmpada ilumina o homem e projeta uma sombra. Quando a distância entre o homem e o poste é de 4 m:

1. Com que velocidade a ponta da sobra se move?
2. Qual a taxa de variação do comprimento da sombra?

Encontre os pontos críticos da função

Classifique esses pontos críticos localmente, e diga se essa classificação também é global

ou não.

Encontre os pontos críticos da função

Classifique esses pontos críticos localmente, e diga se essa classificação também é global

ou não.

Prove que para todo vale a seguinte desigualdade:

(Sugestão: estude o crescimento da expressão do lado esquerdo e determine o mínimo absoluto dessa expressão no intervalo dado).

Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados:

Calcule os limites:

1.

1. Existe uma função contínua em sem pontos críticos em ?

Considere o gráfico da derivada da função representado na figura abaixo:

Pode-se afirmar que:

1. O ponto é um mínimo local de .
2. A função é crescente no intervalo .
3. .
4. A concavidade do gráfico de é para cima em .

1.

1. Existe uma função contínua em e derivável em sem pontos extremos em ?

3) Determine os valores de para que a função

Tenha um mínimo em

1.

f. Existe uma função definida em com mínimo global em e máximo global em com para qualquer ?

2. Encontre os valores máximo e mínimo locais e globais de no intervalo.

b.

Encontre os pontos críticos de

Seja definida no intervalo fechado . Se é o valor máximo de e se é o valor mínimo de , então o produto é:

1.

1. Existe uma função contínua em com máximo local no ponto necessariamente satisfaz ?

3. Encontrei os pontos críticos de

2. Encontre os valores máximo e mínimo locais e globais de no intervalo.

1.

g. Existe uma função contínua em com mínimo global em e máximo global em onde

Encontre os pontos críticos de

2. Encontre os valores máximo e mínimo locais e globais de no intervalo.

f.

2. Encontre os valores máximo e mínimo locais e globais de no intervalo.

e.

3. Encontrei os pontos críticos de

b.

Encontre os pontos críticos de

1.

k. Uma função composta com e contínuas em necessariamente atinge valores máximos e mínimos globais?

Encontre os pontos críticos de

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

Encontre os pontos críticos de

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

Encontre os pontos de máximo e mínimo absolutos (globais) da função no intervalo , bem como seus valores. Explique por que os pontos encontrados são realmente os pontos de máximo e mínimo absolutos da função.

O conjunto de todos os números críticos da função é

.

.

.

.

.

Considere a função dada por . A soma dos valores máximo e mínimo de em é igual a:

Determine os valores de máximo e mínimo da função na placa triangular fechada e limitada pelas retas ; ; no primeiro quadrante.

1. Defina:

1. Mínimo relativo e mínimo absoluto de uma função.

Em relação à função

É incorreto afirmar que:

1. não tem assíntota horizontal.
2. tem exatamente um ponto crítico.
3. é ponto de máximo local.
4. é um ponto de inflexão .
5. não tem assíntota oblíquas.
6. não tem assíntotas verticais
7. o domínio de é .

Não é necessário justificativa.

1. Seja a função , determine:

1. Os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente e os pontos de máximo e mínimo relativos da função:

1.

d. Existe uma função contínua em com máximo local no ponto ?

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo fechado

4. Dada a função .

1. Os intervalos de crescimento e de decrescimento de .
2. Os pontos de máximo e mínimo locais de .
3. Os intervalos nos quais é côncova (concavidade voltada para cima) ou com convexa (concavidade voltaa para baixo).

Dada a função

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidade, os pontos de inexpressão e os pontos de máximo e mínimo.

Seja um número real e

Sabe-se que o gráfico da função tem um mínimo local no ponto Op valor de é:

Considere a função , definida no intervalo . Determine, se possível, os valores máximo e mínimo locais e absolutos de no intervalo , justificando para isto suas afirmações.

Determine, com justificativa, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

no intervalo , e calcule os valores máximo e mínimo respectivos.

Seja definida em , cuja derivada tem o seguinte gráfico:

Determine:

(a) Todos os pontos críticos de

(b) Os intervalos onde é crescente e onde é decrescente. Justifique

(c) Todos os pontos de máximo e mínimo local de . Justifique

(d) Todos os pontos de inflexão de . Justifique

Seja um número real positivo,

E

Sabe-se que as funções e crescem e decrescem nos mesmos intervalos. O valor mínimo de é:

Escolha uma:

(A) 27

(B) 26

(C) 31

(D) 32

(E) 28

Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.

1. Todo ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local.
2. Todo ponto de máxima ou mínimo local é um ponto crítico.
3. Todo ponto de máximo absoluto é um ponto crítico.
4. Se uma função não possui máximos e mínimos locais então ela não possui pontos críticos.
5. Se é um ponto de máximo ou mínimo local e é diferenciável em , então é um ponto crítico.
6. Se é um ponto de máximo ou mínimo local, é diferenciável em e é um ponto interior ao domínio de , então é um ponto crítico.

Seja derivável e suponha que o gráfico da derivada seja dado por:

Considere as seguintes afirmações:

1. A função tem um mínimo local em e um máximo local em .
2. O gráfico de côncavo para baixo em .
3. A função tem um ponto de inflexão em .

Então:

1. Apenas as afirmações (I) e (III) estão corretas.
2. Apenas as afirmações (II) e (III) estão corretas.
3. Apenas as afirmações (I) e (II) estão corretas.
4. Todas as afirmações estão corretas.
5. Apenas a afirmação (I) está correta.

Considere a função definida por

1. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de , caso existam.
2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função , caso existam.
3. Utilize os itens anteriores para determinar qual dos dois números é maior: ou

Deseja-se construir uma piscina retangular com de área (da superfície) a de distância de um muro. Paralela aos demais lados da piscina será construída uma cerca, deixando um corredor de circulação de de largura.

Sabe-se que os lados da piscina paralelos ao muro devem ter no mínimo e no máximo . Sejam e as áreas mínima e máxima que a região cercada pode ter. Então, vale:

Em cada item, determine os pontos críticos.

Em cada item, determine os pontos críticos.

Em cada item, determine os pontos críticos.