Lista de Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Se:

k x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ,   - ∞ < x ≤ 0

a ) Identifique os valores extremos locais da função nos domínios dados e informe onde ela os assume.

b ) Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

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  1. Mostre que a função

f x = ln ⁡ x x

Possui um máximo absoluto em x = e

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Considere o polinômio y = A x 3 + 6 x 2 - B x , onde A e B são constantes reais. É possível determinar valores para A e B tais que o gráfico de y tem um ponto de máximo local quando x = - 1 e um ponto de inflexão quando x = 1 ?

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Sendo:

g x = x 8 - x ²

a ) Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente.

b ) Em seguida, identifique os valores extremos locais da função, se houve, informando onde ela os assume.

c ) Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

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Identifique os pontos de máximo e mínimo e de inflexão da função abaixo.

y = x 3 3 - x 2 2 - 2 x + 1 3

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a ) Encontre o ponto de mínimo de g x = 3 x 2 + 1 - ln ⁡ x e conclua que g x > 0 , para todo x   ∈   ] 0 , + ∞ [ ;

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Para quais valores dos números a e b a função

f x = a x e b x ²

tem o valor máximo de f 2 = 1 ?

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Seja f x = 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x

  1. Determine o domínio de f
  2. Explique porque a função f é ímpar
  3. Determine os extremos locais de f . (Abscissa e Ordenada) Identificando se eles são máximos ou mínimos. São Globais? Porque?
  4. Calcule os limites das extremidades de todos os intervalos que compõem o domínio

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5) A função f x = 7 x 2 - x 4 possui:

  1. 2 máximos locais e 1 mínimo local.
  2. 1 máximo local e 1 mínimo local.
  3. 2 mínimos locais e 2 máximos locais.
  4. 3 máximos locais e 1 mínimo local.

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Seja f x = x 4 - 2 x 3 + x 2 .Determine, justificando:

(a)As regiões de crescimento e decrescimento de f

(b) Os pontos de máximo e mínimo globais, se houver

(c)Os pontos de máximo e mínimo locais, se houver

(d) As regiões de concavidade de f

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Prove que para todo x > 0 vale a seguinte desigualdade:

x + 1 x ≥ 2

(Sugestão: estude o crescimento da expressão do lado esquerdo e determine o mínimo absoluto dessa expressão no intervalo dado).

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A concentração C de certa substância química no fluxo sanguíneo em t horas após ter sido injetado no músculo é dada por

C = 3 t 54 + t 3

Em que instante a concentração é máxima? Qual é a concentração máxima?

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Mostre que f x = ln ⁡ x x tem um máximo absoluto em x = e . Conclua que π e < e π

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Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados:

f x = x 5 5 - x 3 3 + 2 ,     x   ∈ - 2,2

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Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados:

f x = 2 cos ⁡ x - sin ⁡ 2 x ,     x   ∈ 0,4 π

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Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados:

f x = x 3 - 3 x 2 ,     x   ∈ - 1,3

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Seja f x = e 2 x 3 + 9 x 2 definida no intervalo fechado [ - 5,1 ] . Se a é o valor máximo de f e se b é o valor mínimo de f , então o produto a b é:

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Considere o gráfico da derivada da função f representado na figura abaixo:

Pode-se afirmar que:

  1. O ponto x = 5 é um mínimo local de f .
  2. A função é crescente no intervalo ( 0,5 ) .
  3. f ' ' 2 < 0 .
  4. A concavidade do gráfico de f é para cima em ( - 5,2 ) .

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Encontre os pontos de máximo e mínimo absolutos (globais) da função f x = x   4 - x 2 no intervalo - 1,2 , bem como seus valores. Explique por que os pontos encontrados são realmente os pontos de máximo e mínimo absolutos da função.

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Considere a função f x = x 4 ln ⁡ x . O valor de x 0 tal que f x ≥ f x 0 para todo x > 0 é:

  1. e - 1 4 .
  2. e 4 .
  3. e - 4 .
  4. e 1 4 .

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Considere a função f x = ln ⁡ x 2 + x + 1 , definida no intervalo I = - 1 ,   1 . Determine, se possível, os valores máximo e mínimo locais e absolutos de f x no intervalo I , justificando para isto suas afirmações.

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Determine, com justificativa, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

f t = 2 sen ⁡ t + cos ⁡ 2 t

no intervalo 0 , π 2 , e calcule os valores máximo e mínimo respectivos.

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Calcule o valor máximo de

f x = ln ⁡ x 2 - x

em 1 ,   3 .

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Seja f derivável e suponha que o gráfico da derivada f ' seja dado por:

Considere as seguintes afirmações:

  1. A função f tem um mínimo local em x = 2 e um máximo local em x = 4 .
  2. O gráfico de f côncavo para baixo em x = 0 .
  3. A função f tem um ponto de inflexão em x = 3.5 .

Então:

  1. Apenas as afirmações (I) e (III) estão corretas.
  2. Apenas as afirmações (II) e (III) estão corretas.
  3. Apenas as afirmações (I) e (II) estão corretas.
  4. Todas as afirmações estão corretas.
  5. Apenas a afirmação (I) está correta.

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Considere a função f : 0 ,   + ∞ ) → R   definida por

f x = x e x e

  1. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f , caso existam.
  2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f , caso existam.
  3. Utilize os itens anteriores para determinar qual dos dois números é maior: π e ou e π

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Para a função contínua abaixo dada no respectivo intervalo fechado, determine os máximos e mínimos globais.

h x = x 3 + 9 x 2 2 - 12 x em 0 ,   2

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Deseja-se construir uma piscina retangular com 18 m ²   de área (da superfície) a 3 m de distância de um muro. Paralela aos demais lados da piscina será construída uma cerca, deixando um corredor de circulação de 1 m de largura.

Sabe-se que os lados da piscina paralelos ao muro devem ter no mínimo 2 m e no máximo 6 m . Sejam a e A as áreas mínima e máxima que a região cercada pode ter. Então, a   +   A vale:

  1. 100   m ²
  2. 102   m ²
  3. 104   m ²
  4. 106   m ²
  5. 108   m ²

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Seja f x =   3 x 4 +   4 x 3 - 12 x ²   +   7 . O ponto x   =   - 2 é ponto de

a. máximo local mas não global.

b. mínimo local mas não global.

c. máximo global.

d. mínimo global.

e. inflexão.

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y   =   g ( x ) representada abaixo é o gráfico de uma função g   :   R   →   R contínua com exatamente 3 raízes reais distintas

Se g é a derivada de uma função f , conclui-se que, necessariamente,

  1. f 0 ∙ f 2 > 0
  2. f ( 1 ) é um número positivo
  3. f possui três pontos de inflexão
  4. f possui um único ponto de máximo local
  5. f possui pelo menos duas raízes reais distintas

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Seja f x definida em I R , cuja derivada f ' x tem o seguinte gráfico:

Determine:

(a) Todos os pontos críticos de f ( x )

(b) Os intervalos onde f ( x ) é crescente e onde f ( x ) é decrescente. Justifique

(c) Todos os pontos de máximo e mínimo local de f ( x ) . Justifique

(d) Todos os pontos de inflexão de f ( x ) . Justifique

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Dada a função

f x = x 4 - 2 x 2 - 8

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidade, os pontos x de inexpressão e os pontos x de máximo e mínimo.

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Considere a função f x = x - 1 e x

Determine suas assíntotas (caso existam), intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos, máximos e mínimos locais (caso existam), analise a concavidade e encontre pontos de inflexão (caso existam) e, por fim, esboce o gráfico da função, destacando os elementos anteriores.

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Considere a função e determine

f x = x + 1 2 x

  1. O domínio de f
  2. Os intervalos onde f é estritamente crescente e decrescente
  3. Os intervalos de convexidade (concavidade pra cima) e concavidade (concavidade pra baixo)
  4. Os pontos de máximo e mínimo (se houver)
  5. As assíntotas verticais e horizontais (se houver)

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Seja f uma função derivável definida no intervalo a , i . O gráfico abaixo é o gráfico da derivada de f , ou seja, o gráfico de f ' :

Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta

c) A função f tem um mínimo local em x = b

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ME05) Seja f x = e - x + x , definida em toda reta real. O número de soluções da equação f x = 2 no intervalo - 2,2 é:

  1. 3
  2. 1
  3. 2
  4. 4
  5. 0

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3) Determine os valores de a , b   ∈ I R para que a função

f x = a x   l n b x

Tenha um mínimo em x = e

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3) Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função h t = t ∙ e - t 2 , quando restrita ao intervalo 0 ≤ t ≤ 2 ; ainda, especifique se tais pontos são de máximo/mínimo absoluto ou relativo

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Certo lago pode suportar uma população máxima de 20.000 peixes. Considerando que há poucos peixes no lago, sabe-se que a taxa de crescimento populacional será proporcional ao produto da população existente pela diferença da população existente a partir de 20.000 , ou seja, f x = k x . ( 20.000 - x ) , onde f x é a taxa de crescimento para uma população de dimensão x .

Pergunta-se: Para que população a taxa de crescimento será máxima?

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Determine qual(is) são os pontos críticos da função f x = 2 x 2 - x 3 .

(a) { - 4 3 ,   0 }

(b) { 0   ,   4 / 3 }

(c) { 4 / 3 }

(d) { 0   ,   4 / 3 }

(e) { 0 }

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Encontre os pontos de inflexão da curva f x = 3 x 4 - 10 x 3 - 12 x 2 + 12 x - 7 .

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Seja f x = 3 x + cos ⁡ 2 x , para x ∈ I R . Qual dos seguintes pontos é ponto de máximo local de f ?

  1. 5 π 6
  2. π 3
  3. - 2 π 3
  4. - 5 π 6
  5. 2 π 3

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Seja f x = 3 x + cos ⁡ 2 x , para x ∈ I R . Qual dos seguintes pontos é ponto de máximo local de f ?

  1. - 11 π 6
  2. π 3
  3. 2 π 3
  4. 5 π 6
  5. 2 π 3

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Seja f x = 3 x + cos ⁡ 2 x , para x ∈ I R . Qual dos seguintes pontos é ponto de mínimo local de f ?

  1. π 6
  2. π 3
  3. - 4 π 3
  4. - 5 π 6
  5. - π 3

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Seja f x = 3 x + cos ⁡ 2 x , para x ∈ I R . Qual dos seguintes pontos é ponto de mínimo local de f ?

  1. π 6
  2. - 4 π 3
  3. 4 π 3
  4. - 5 π 6
  5. - π 3

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Considere a função f : D → R dada por

f x , y = x 4 + y 4 + 2 x 2 + 2 y 2

onde D é o domínio D = { x , y ∈ R   : x 2 + y 2 ≤ 1 }

  1. Encontre e classifique os pontos críticos de f no interior do domínio D .
  2. Explique por que os valores extremos absolutos de f devem existir em D .
  3. Encontre os valores máximos absolutos e mínimos absolutos de f em D . Indique os pontos de D onde esses valores extremos são atingidos.

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Considere a função f x definida para todo x real pela expressão

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x

Determine o máximo e mínimo absolutos que f x atinge no intervalo 0 , π .

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Sejam f   : - 1,1 → R e g   :   R → R dadas por

f x = x 2 - x 1 + 3 x 2           e         g x = a x - 5 2 - b x - 2 3

Onde a e b são constantes reais positivas.

a   Prove que f - 1 é o valor máximo de f .

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Seja f uma função qualquer derivável em todos os pontos de R . Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se f ' y 0 < 0 , então com certeza y 0 não é um máximo local de f .
  2. Se f ' y 0 = 0 , então com certeza x 0 é um mínimo ou máximo local de f .

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Somente a afirmativa (I).
  2. Somente a afirmativa (II).
  3. Nenhuma das afirmativas.
  4. As afirmativas (I) e (II).

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