Enunciado

Calcule, caso exista, lim n → + ∞ ⁡ a n , sendo:

a n = ∫ 0 n 1 1 + x 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para que calculemos

lim n → + ∞ ⁡ a n = l i m n → + ∞ ∫ 0 n 1 1 + x 2 d x  

Passo 2

Essa integral pode ser resolvida pela identidade

∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x ⁡

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lim n → + ∞ ⁡ a n = l i m n → + ∞ arctan ⁡ x 0 n

Aplicando os limites de integração. Como arctan ⁡ 0 = 0 , então

lim n → + ∞ ⁡ a n = l i m n → + ∞ arctan ⁡ n

Passo 3

Por fim vamos aplicar o limite

lim n → + ∞ ⁡ a n = π 2

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ a n = π 2

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