Calcule f'(p) , pela definição, sendo dados

f(x) = raiz_cubica(x) e p = 2

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão! Bom, o enunciado quer que a gente calcule a derivada dessa função usando a definição… Vamos lá!

Lembrando que a definição de derivada diz que:

Para quem não lembra, a fórmula é essa:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h - x = lim x → p ⁡ f x - f ( p ) x - p

Aplicando para a nossa questão, ficamos com

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ x 3 - 2 3 x - 2

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 2

Então temos que fazer uns ajustes… Vamos começar com uma gambiarra: concorda que x - 2 = x 3 3 - 2 3   3 ? Então, vamos fazer isso no nosso cálculo então:

f ' 2 = lim x → p ⁡ x 3 - 2 3 x - 2 = lim x → p ⁡ x 3 - 2 3 x 3 3 - ( 2 3 ) ³  

Hummm… Agora vamos pensar como podemos simplificar isso aí! Temos a diferença de dois números ao cubo, e relembrando que:

x 3 - y 3 = x - y . ( x 2 + x y + y 2 )

Então, podemos escrever que

x 3 3 - 2 3 3 = x 3 - 2 3 . x 3 2 + x 3 . 2 3 + 2 3 2

substituindo isso na continha:

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ x 3 - 2 3 x 3 - 2 3 . x 3 2 + x 3 . 2 3 + 2 3 2  

Agora podemos cortar o numerador com uma parte do denominador, e ficaremos com:

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ 1 x 2 3 + 2 3 x 3 + 2 2 3  

Agora saímos da nossa indeterminação, uhuuu, então podemos resolver do jeito padrão e substituir x por 2 :

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ 1 2 2 3 + 2 3 2 3 + 2 2 3 = 1 3 4 3  

Show de bola! Conseguimos!

Vamos pra próxima?

Resposta

f ' 2 = 1 3 4 3

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