Lista de Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

f x = 4 - x 2

f ' - 3 , f ' 0 , f ' 1

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Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = 1 + x

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  1. Quando uma função f : R → R é derivável no ponto p = 0 ?
  2. Dê a definição

  3. Usando a definição dada no item a , calcule a derivada da função

y = f x = 1 x + 1

No ponto p = 0 .

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Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

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Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio f x = x n é:

f ' x = n x n - 1

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Considere a função:

f x = 1 - 2 x 3 + x

Usando a definição de derivada, calcule f ' a . Aqui, a ≠ - 3 é um número real qualquer.

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Utilizando a definição, determine a derivada da função

f x = 1 x

no ponto x 0 = 1 .

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Suponha que f x ≤ x 2 para todo x ∈ R . Considere as seguintes afirmações:

  1. f é contínua em x = 0 .
  2. f é diferenciável em x = 0 .
  3. f ' 0 = 0 .

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Todas as três afirmativas.
  2. Somente a afirmativa (II).
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. Nenhuma das afirmativas.
  5. As afirmativas (I) e (II).

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Considere uma função y = f x satisfazendo:

lim x → 2 ⁡ f x - f 2 x - 2 = 0

Então, vale necessariamente que:

  1. f ' 2 = 0 .
  2. lim x → 2 ⁡ f x não existe.
  3. f não está definida em x = 2 .
  4. f 2 = 0 .

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Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' ( x 0 ) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 ,   f x 0

f x = 1 x ,   x 0 = 1 2

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Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' ( x 0 ) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 ,   f x 0

f x = x 2 + 4 ,   x 0 = 5

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Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' ( x 0 ) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 ,   f x 0

f x = x + 4 x + 2 ,   x 0 = 0

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Usando a definição de derivada, calcule f ' x para

f x = 1 2 + x  

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Questão 4:

Use a definição precisa de derivada (via limite) e prove que se f x = 2 x + 1 então f ' 0 = 1 .

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Com a definição de derivada e as propriedades de limite, calcule f ' x para:

f x = 1 1 + 2 x

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2) Calcule, usando a definição, a derivada da função f x = 1 - 2 x 3 + x no ponto x = 2

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Considere a função f : I R → I R definida por:

f x = a ,     s e   x = 0 sin ⁡ x x - 2 3 x ,     s e   x ≠ 0

(b) Use a definição de derivada para mostrar que f não é derivável em x = 2

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Usando a definição de derivada, calcule f ' x , para f x = x + 2 , definida para x > - 2

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Seja f : I R → I R dada por f x = sin ⁡ 3 x sin ⁡ tan ⁡ x x ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                                           s e   x = 0 . Calcule, caso exista, f ' 0

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Seja f : I R → I R dada por f x = sin ⁡ 2 x sin ⁡ tan ⁡ x x ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                                           s e   x = 0 . Calcule, caso exista, f ' 0

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Seja f : I R → I R tal que x sin ⁡ x + 2 ≤ f x ≤ x 2 + 2 , para todo x ∈ I R . Considere as seguintes afirmações:

  1. f 0 = 2
  2. lim x → 0 ⁡ f x - 2 x 2 = 1
  3. f é contínua em x = 0
  4. f ' 0 = 1

São verdadeiras as seguintes afirmações:

  1. Somente I , I I e I I I
  2. Todas
  3. Somente I , I I I e I V
  4. Somente I e I V
  5. Somente I e I I I

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Seja f : I R → I R tal que x sin ⁡ x + 1 ≤ f x ≤ x 2 + 1 , para todo x ∈ I R . Considere as seguintes afirmações:

  1. f 0 = 1
  2. lim x → 0 ⁡ f x - 1 x 2 = 1
  3. f é contínua em x = 0
  4. f ' 0 = 0

São verdadeiras as seguintes afirmações:

  1. Somente I , I I e I I I
  2. Todas
  3. Somente I , I I I e I V
  4. Somente I e I V
  5. Somente I e I I I

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Seja f x = 1 2 x + 1 . Usando a definição de derivada, calcule f ' 0 .

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