Exercícios de Definição de Derivadas - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.
Ver solução completaQuestão 3
- Quando uma função é derivável no ponto ?
Dê a definição
- Usando a definição dada no item , calcule a derivada da função
Dê a definição
No ponto .
Ver solução completaQuestão 5
Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio é:
Ver solução completaQuestão 7
Para cada uma das seguintes funçōes, calcule pela definição a sua função derivada:
h)
Ver solução completaQuestão 8
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
b. e
Ver solução completaQuestão 10
Use a definição de derivada para calcular a derivada de . Determine o domínio de .
Ver solução completaQuestão 11
8 – Se a posição de um carro no instante é dada por , então a sua velocidade pode ser calculada a partir do seguinte limite
Calcule a velocidade em cada um dos casos abaixo.
a)
Ver solução completaQuestão 12
Seja uma função contínua satisfazendo as seguintes propriedades:
- e
- é derivável até segunda ordem em ;
- Existe uma função contínua tal que para todo e
- Existe uma função contínua tal que para todo e
(a) Usando a Regra de L’Hospital para calcular o limite, decida se é derivável em e determine, em caso afirmativo, .
(b) Estude f em relação a seus intervalos de crescimento e decrescimento, intervalos de concavidade, pontos de máximo e mínimo locais e globais e pontos de inflexão.
(c) Esboce o gráfico de .
Ver solução completaQuestão 13
Seja uma função contínua derivável satisfazendo as seguintes propriedades:
- ;
- ;
Considere também que a função definida por . Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa:
A) A equação possui exatamente uma solução real. A solução dessa equação é um número real estritamente positivo.
B) A equação possui exatamente duas soluções reais.
C) A função possui um único ponto de mínimo local.
D) A função possui ao menos um ponto de máximo local.
E) A equação possui ao menos uma solução real.
Ver solução completaQuestão 14
Um triângulo possui dois de seus lados iguais a 3cm e 8cm e o terceiro lado variando com o tempo. Em um certo instante, o lado mede 7cm e está aumentando a uma taxa de . Determine a taxa com a qual o ângulo oposto ao lado está variando neste momento.
Ver solução completaQuestão 15
Considere todos os triângulos retângulos cujos catetos estão contidos nos eixos coordenadas e que a hipotenusa contém o ponto (3,2). A menor área que um desses triângulos pode ter é quanto?
Ver solução completaQuestão 16
Seja uma função derivável tal que . Suponha que seja duas vezes derivável em e que . Suponha ainda que se . O valor do limite
É:
Ver solução completaQuestão 18
Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
Ver solução completaQuestão 20
Considere as funções e , onde são constantes reais e . Decida a veracidade das afirmações abaixo:
- Se , então é estritamente crescente
- Se , então possui exatamente um ponto de máximo e um ponto de mínimo local
- Se , então possui um único ponto crítico que não é ponto de máximo ou mínimo local
- Se , então é estritamente decrescente
- A derivada de é uma função limitada
- Se , então é estritamente crescente
- e , então possui exatamente um ponto de máximo e um ponto de mínimo local
- Se , então possui um único ponto crítico que não é ponto de máximo ou mínimo local
- Se , então é estritamente decrescente
- A derivada de é uma função limitada
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
Vamos aqui ter que avaliar uma por uma das alternativas e usando a teoria que conhecemos, aplicar nossos conhecimentos e ver se são verdadeiras ou falsas. O enunciado não pede, mas vamos justificar todas elas pra gente ter sempre uma ideia do que estamos fazendo.
Passo 2
Falsa, pois se então . Logo, não pode ser estritamente crescente.
Verdadeira. Agora tem duas raízes, sendo negativa somente no intervalo entre essas raízes. Uma análise do crescimente da função garante o resultado.
Verdadeira. Aproveitando até o que discutimos anteriormente, a condição garante que (uma única raiz dupla) e portanto, sempre crescente, com um único ponto crítico.
Falsa, pois tem discriminante que, se negativo garante para todo , logo é estritamente crescente.
Verdadeira, pois e portanto,
Ver solução completaQuestão 22
Seja . Determinar as declividades das tangentes à elipse
em função de . Verificar que independe de . Quais são os pontos das tangentes horizontais? Quais são as tangentes (em forma cartesiana) para e ?
Ver solução completaQuestão 23
03) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Ver solução completaQuestão 24
01) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Ver solução completaQuestão 25
02) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Ver solução completaQuestão 27
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
h. e
Ver solução completaQuestão 28
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
f. e
Ver solução completaQuestão 29
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
g. e
Ver solução completaQuestão 30
Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no
ponto indicado:
no ponto
Ver solução completaQuestão 31
Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
Ver solução completaQuestão 32
Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no
ponto indicado:
no ponto
Ver solução completaQuestão 33
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
-
e
Ver solução completaQuestão 34
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
e. e
Ver solução completaQuestão 35
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
i. e
Ver solução completaQuestão 37
Com a definição de derivada e as propriedades de limite, calcule para:
Ver solução completaQuestão 38
Considere a função:
Usando a definição de derivada, calcule . Aqui, é um número real qualquer.
Ver solução completaQuestão 40
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
c. e
Ver solução completaQuestão 41
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
d. e
Ver solução completaQuestão 42
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
k. e
Ver solução completaQuestão 43
- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
l. e
Ver solução completaQuestão 45
Para que o Teorema de Weierstrass possa ser aplicado, é necessário que a função seja diferenciavel no intervalo considerado?
Ver solução completaQuestão 46
3. Dois objetos e movem-se sobre uma linha reta e suas posições em função do tempo são dadas, respectivamente, por e , sendo as posições medidas em metros e o tempo em segundos.
(a) Determine as posições iniciais dos objetos, em .
(b) Determine as posições dos objetos, em .
(c) Determine as velocidades médias dos objetos entre os instantes e .
(d) Determine as velocidades dos objetos no instante .
(e) Determine as velocidades dos objetos no instante .
(f) Em qual instante de tempo entre e os dois objetos possuem a mesma velocidade?
Ver solução completaQuestão 47
Considere a curva definida pela equação . Calcule e encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto .
Ver solução completaQuestão 48
Suponha que para todo . Considere as seguintes afirmações:
- é contínua em .
- é diferenciável em .
- .
É verdadeira ou são verdadeiras:
- Todas as três afirmativas.
- Somente a afirmativa (II).
- Somente a afirmativa (I).
- Nenhuma das afirmativas.
- As afirmativas (I) e (II).
Questão 49
Considere uma função satisfazendo:
Então, vale necessariamente que:
- .
- não existe.
- não está definida em .
- .
Questão 50
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
Questão 51
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
Questão 52
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
Questão 54
Questão 4:
Use a definição precisa de derivada (via limite) e prove que se então .
Ver solução completaQuestão 55
Calcule por meio da definição a derivada de (não é permitido aqui usar a regra de L’Hospital).
Ver solução completaQuestão 58
Considere a função definida por:
(b) Use a definição de derivada para mostrar que não é derivável em
Ver solução completaQuestão 60
17. Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma
Ocorrem com frequência em cálculo. Avalie os seguintes limites para os valores dados de e a função .
a)
Ver solução completaQuestão 61
17. Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma
Ocorrem com frequência em cálculo. Avalie os seguintes limites para os valores dados de e a função .
c)
Ver solução completaQuestão 62
17. Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma
Ocorrem com frequência em cálculo. Avalie os seguintes limites para os valores dados de e a função .
d)
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