Enunciado

Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção.

∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1   d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra começarmos esse exercício, podemos simplesmente usar a dica dada no enunciado e procurar por alguma fórmula de integração na lista de integrais que se encontra na página 489 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON.

Procurando pela lista, iremos conseguir encontrar uma fórmula que se identifica com a nossa integral.

Passo 2

De início, podemos ver que essa integral não é simples de se resolver. Por causa disso, precisamos transformar ela numa forma em que seja possível aplicar algum método de integração.

Como nosso exercício envolve funções trigonométricas que se relacionam através de suas derivadas, sendo elas um produto de seno e cosseno, podemos aplicar a substituição u = s e n x , tal que d u = cos ⁡ x d x para fazer:

∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1   d x = ∫ d u u u 2 + 1

Passo 3

Visto que essa integral agora tem a forma da fórmula 28 da lista de integrais, podemos resolvê-la e encontrar:

∫ d u u u 2 + 1 = - ln ⁡ 1 + 1 + u 2 u + C

Substituindo a variável u pelo termo original teremos, portanto:

∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1   d x = - ln ⁡ 1 + 1 + s e n 2 x s e n x + C

Resposta

∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1   d x = - ln ⁡ 1 + 1 + s e n 2 x s e n x + C

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Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ 1 2 t - 2 e t d t
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Cada curva integral do campo de direções d y d x = 1 x 2 + 1 É o gráfico de uma função crescente de x .
Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ 1 - 2 t 3 t 3d t
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se C denota uma constante de integração, então ambas as equações ∫ cos ⁡ x d x = s e n x + C ∫ cos ⁡ x d x = s e n x + π + C
Calcule a integral ∫ 1 1 + s e n x d x Multiplicando o numerador e o denominador por uma expressão apropriada.