Mostre que, se α for zero ou um inteiro positivo par 2n , a solução em série y_1 se reduzirá a um polinômio de grau 2n contendo apenas potências pares de x . Encontre os polinômios correspondentes a alpha = 0, 2 e 4 . Mostre que, se α for um inteiro positivo ímpar 2n + 1, a solução em série y_2 se reduzirá a um polinômio de grau 2n + 1 contendo apenas potências ímpares de x . Encontre os polin��mios correspondentes a alpha = 1, 3 e 5.

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos para essa resolução de series?

Nesta atividade, estudaremos as soluções em série de uma equação diferencial, analisando como essas soluções se comportam para diferentes valores do parâmetro α .

Passo 2

Se α = 2 n para alguns n N 0 , todos os termos em y 1 após os enésimos termos desaparecem porque consistem no fator α - 2 n .

Como os enésimos termos tem o poder de x com o maior expoente, sendo esse maior expoente equivalente a 2 n , dessa forma o grau do polinômio y 1 é 2 n .

Os polinômios correspondentes a α   =   0 ; 2 ; 4 são respectivamente:

y 1 x = 1 ,

y 1 x = 1 - 2.3 2 x 2 = 1 - 3 x 2 ,

y 1 x = 1 - 4 ⋅ 5 2 x 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 4 ! x 4 = 1 - 10 x 2 + 35 3 x 4 .

Passo 3

Da mesma forma, se α = 2 n + 1 para alguns n N 0 , todos os termos em y 2 após os enésimos termos desaparecem porque consistem no fator α - ( 2 n + 1 ) . Como o enésimo tern tem o poder de x com o maior expoente, 2 n   +   1 , o grau do polinômio y 2 é 2 n   +   1 . Os polinômios correspondentes a α   =   1,3   e   5 são respectivamente:

y 2 x = x ,

y 2 x = x - 2 ⋅ 5 3 ! x 3 = 1 - 5 3 x 3 ,

y 2 x = 1 - 4 ⋅ 7 3 ! x 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 9 5 ! = x - 14 3 x 3 + 21 5 x 5

Resposta

y 1 x = 1 ,

y 1 x = 1 - 3 x 2 ,

y 1 x = 1 - 10 x 2 + 35 3 x 4 .

y 2 x = x ,

y 2 x = 1 - 5 3 x 3 ,

y 2 x = x - 14 3 x 3 + 21 5 x 5

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