Calcule o limite:

lim θ → π / 4 ⁡ t g θ - 1 θ - π 4

Passo 1

Relembrando que as funções polinomiais, racionais, raízes, trigonométricas e exponenciais são funções contínuas em todo o seu domínio, temos uma propriedade dos limites que permite que ele entre na função contínua. Veja abaixo um exemplo:

lim x → x 0 ⁡ s e n x = s e n ( lim x → x 0 ⁡ x )

Para resolvermos limites, o primeiro passo é aplicar o valor x 0 na função e analisar se há uma indeterminação ou não. Caso não ocorra, temos a nossa solução! Agora, se uma indeterminação aconteceu, 0 0 ou ∞ ∞ por exemplo, teremos um probleminha a mais para resolver. Sendo assim, precisaremos realizar algumas manipulações algébricas para que eliminemos os termos que causam a indeterminação.

Está complexo? Não se assuste e vamos resolver calmamente. Quando necessário trabalhar com indeterminação, resolveremos calmamente.

Passo 2

Conforme descrito anteriormente, o nosso primeiro passo é aplicar o valor θ = π / 6 na função. Sendo assim, temos:

lim θ → π / 4 ⁡ t g θ - 1 θ - π 4 = t g π 4 - 1 π 4 - π 4

t g π 4 - 1 π 4 - π 4 = 0 0

Chegamos numa indeterminação. Desta forma, precisamos encontrar uma forma de trabalhar com esta indeterminação.

Passo 3

Ao invés de fazermos operações algébrica, observe que o nosso limite pode ser escrito da seguinte forma:

lim θ → π / 4 ⁡ t g θ - 1 θ - π 4 = lim θ → π / 4 ⁡ t g θ - t g π 4 θ - π 4

Do jeito que está escrito, o limite lembra alguma operação? E se a gente ver o seguinte limite:

lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

E agora? Reconheceu? O limite que estamos querendo resolver nada mais é do que a derivada da função seno aplicada no ponto θ = π / 4 ! Portanto, basta derivar a função e aplicar neste ponto!

Passo 4

Desta forma, para resolver este limite, vamos usar a estratégia da derivada.

lim θ → π / 4 ⁡ t g θ - 1 θ - π 4 = d d x t g x ​ x = π 4 = sec 2 ⁡ x ​ x = π 4

sec 2 ⁡ π 4 = 2

Portanto,

lim θ → π / 4 ⁡ t g θ - 1 θ - π 4 = 2

Resposta

lim θ → π / 4 ⁡ t g θ - 1 θ - π 4 = 2

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