Enunciado

Calcule o limite:

underset(theta -> 0)(lim) cos ((pi * theta)/(s e n (theta)))

Passo 1

Relembrando que as funções polinomiais, racionais, raízes, trigonométricas e exponenciais são funções contínuas em todo o seu domínio, temos uma propriedade dos limites que permite que ele entre na função contínua. Veja abaixo um exemplo:

underset(x -> x_0)(lim) s e n (x) = s e n ( underset(x -> x_0)(lim) x )

Para resolvermos limites, o primeiro passo é aplicar o valor x_0 na função e analisar se há uma indeterminação ou não. Caso não ocorra, temos a nossa solução! Agora, se uma indeterminação aconteceu, (0)/(0) ou (oo)/(oo) por exemplo, teremos um probleminha a mais para resolver. Sendo assim, precisaremos realizar algumas manipulações algébricas para que eliminemos os termos que causam a indeterminação.

Está complexo? Não se assuste e vamos resolver calmamente. Quando necessário trabalhar com indeterminação, resolveremos calmamente.

Passo 2

Conforme descrito anteriormente, o nosso primeiro passo é aplicar o valor theta = 0 na função. Sendo assim, temos:

underset(theta -> 0)(lim) cos ((pi * theta)/(s e n (theta))) = cos (underset(theta -> 0)(lim) (pi * theta)/(s e n (theta)))

cos (underset(theta -> 0)(lim) (pi * theta)/(s e n (theta))) = cos ((pi * 0)/(s e n (0)))

cos ((pi * 0)/(s e n (0))) = cos ((pi * 0)/(0)) = cos ((o)/(o))

Portanto, chegamos a uma indeterminação dentro do cosseno! E agora, o que faremos?

Passo 3

O que causou a indeterminação foi o seguinte limite:

underset(theta -> 0)(lim) (pi * theta)/(s e n (theta)) = pi * underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n (theta))

A função (theta)/(s e n (theta)) nada mais é do que:

(theta)/(s e n (theta)) = ((s e n (theta))/(theta))^(- 1)

Portanto, temos o seguinte limite:

underset(theta -> 0)(lim) (pi * theta)/(s e n (theta)) = pi * (underset(theta -> 0)(lim) (s e n (theta))/(theta))^(- 1)

Logo, recaímos sobre um dos limites fundamentais. Sendo assim, podemos substituir diretamente pelo seu valor. Sendo assim, temos:

pi * (underset(theta -> 0)(lim) (s e n (theta))/(theta))^(- 1) = pi * (1)^(- 1) = pi

Passo 4

Podemos agora finalizar a nossa questão. Continuando a resolução do limite, temos:

cos (underset(theta -> 0)(lim) (pi * theta)/(s e n (theta))) = cos (pi) = - 1

Portanto, o valor do nosso limite é - 1 .

Resposta

underset(theta -> 0)(lim) cos ((pi * theta)/(s e n (theta))) = - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é