1. Calcule a soma da série dada.

l) sum_(k = 1)^n (1)/(k^2 (k + 1) (k + 2)^2)

Passo 1

Neste caso, podemos escrever a série dada como sendo uma série telescópica e a partir disso proceder da seguinte forma:

s_n = sum_(k = 1)^n (1)/(k^2 (k + 1) (k + 2)^2) = sum_(k = 1)^n (1)/(4) [(1)/(k^2 (k + 1)^2) - (1)/((k + 1)^2 (k + 2)^2)] = (1)/(4) [(1)/(4) - (1)/((n + 1)^2 (n + 2)^2)]

Passando o limite no termo à direita,

underset(n -> oo)(lim) (1)/((n + 1)^2 (n + 2)^2) = 0

Segue que

underset(n -> oo)(lim) s_n = (1)/(4) . (1)/(4) = (1)/(16)

Ou seja,

sum_(k = 1)^n (1)/(k^2 (k + 1) (k + 2)^2) = (1)/(16)

Resposta

sum_(k = 1)^n (1)/(k^2 (k + 1) (k + 2)^2) = (1)/(16)

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