Enunciado

O campo de velocidade de um fluido em movimento é dado por v → = y , - x . Determinar a circulação do fluido ao redor do triângulo de vértices A ( 0,0 ) , B ( 2,0 ) e C ( 2,2 ) . Qual o sentido em que o fluido gira ao redor da curva dada?

Passo 1

Precisamos inicialmente parametrizar nossas curvas afim de aplicar na equação abaixo

∫ C v → r → t ⋅ d r → t

Onde teremos que

∫ C v → r → t ⋅ d r → t = ∫ C 1 v → r 1 → t ⋅ d r 1 → t + ∫ C 2 v → r 2 → t ⋅ d r 2 → t + ∫ C 3 v → r 3 → t ⋅ d r 3 → t

Uma vez calculado nossa integral, temos que se o valor calculado foi > 0 então temos o sentido anti-horário, caso contrário temos o sentido horário.

Passo 2

Vamos parametrizar as curvas primeiro.

Para C 1

0,0 → ( 2,0 )

r → 1 t = t , 0 ,   t ∈ [ 0,2 ]

Para C 2

2,0 → ( 2,2 )

r → 2 t = 2 , t ,   t ∈ 0,2

e finalmente para C 3

2,2 → ( 0,0 )

r → 3 t = 2 - t , 2 - t ,   t ∈ 0,2

Passo 3

Agora vamos resolver nossas integrais

∫ C 1 v → r → 1 t ⋅ d r → 1 = ∫ 0 3 0 , - t ⋅ ( d t , 0 ) = ∫ 0 2 0 = 0

∫ C 2 v → r → 2 t ⋅ d r → 2 = ∫ 0 2 t , - 2 ⋅ ( 0 , d t ) = ∫ 0 2 - 2 t d t = - t 2 0 2 = - 4

∫ C 3 v → r → 2 t ⋅ d r → 2 = ∫ 0 2 2 - t , t - 2 ⋅ - d t , - d t = ∫ 0 2 0 d t = 0

Assim temos que o resultado na nossa integral é - 4 e seu sentido é Horário

Resposta

- 4

h o r á r i o

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8. Calcular ∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] , ao longo dos seguintes caminhos:(d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:b) poligonal ABCD, com A(1,0), B(1,1), C(2,1) e D(2,2), de A até D;
8. Calcular ∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] , ao longo dos seguintes caminhos:(a) circungerência de centro (2,0) e raio 1 no sentido anti-horário;
4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.c) ∫ 0,1 , 1 1,0 , 1 ( 2 x yd x + x 2d y + 2d z )
4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.f) ∫ - 1,0 , 0 1 , 1,1 [ e y d x + x e y + e z d y + y e z - 2 e - 2 z d z ]