Enunciado

Um carro está viajando a 50 mi/h quando seu condutor freia completamente, produzindo uma desaceleração constante de 22 pés/s². Qual a distância percorrida antes de o carro parar?

Passo 1

Temos uma aceleração constante durante a frenagem do carro. Se o sentido de movimento do carro for positivo, então a função da aceleração (negativa) é dada, em pés/s²:

a t = - 22

Como a aceleração é a segunda derivada da posição s ( t ) , podemos aplicar a antiderivada duas vezes para encontrar a função da posição, primeiro achando a velocidade e depois a própria função s ( t ) . Temos pelo enunciado que a velocidade inicial v ( 0 ) é igual a 50 mi/h, e escolhemos o ponto inicial como posição zero: s 0 = 0 . Para as condições finais, no tempo t f i n a l , temos uma velocidade zero, v t f i n a l = 0 , e a posição será o valor d que queremos encontrar: s t f i n a l = 0 .

Passo 2

Encontramos então primeiramente a antiderivada da aceleração para encontrar a função da velocidade, temos:

s ' ' t = a t = - 22

⇒ s ' t = v t = - 22 t + C

Aplicando a condição inicial v 0 = 50 encontramos o valor da constante C :

v 0 = 0 ⇒ C = 50

⇒ s ' t = v t = - 22 t + 50

Agora aplicando a condição final, v t f i n a l = 0 , podemos achar o valor de t f i n a l :

v t f i n a l = 0 ⇒ - 22 t f i n a l + 50 = 0

⇒ t f i n a l = 50 22 = 2,273   s

Passo 3

Como já temos a velocidade, agora achamos a função da posição através de sua antiderivada:

v t = s ' t = - 22 t + 50

⇒ s t = - 22 t 2 2 + 50 t + D = - 11 t 2 + 50 t + D

Aplicando a condição inicial s 0 = 0 , encontramos a constante D :

s 0 = 0 ⇒ D = 0

⇒ s t = - 11 t 2 + 50 t

Agora achamos a posição final, dada no tempo t f i n a l :

d = s t f i n a l = s t = - 11 t f i n a l 2 + 50 t f i n a l = - 11 2,273 2 + 50 ( 2,273 )

⇒ d = 56,8   p é s

Resposta

d = 56,8   p é s

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