Enunciado

Case as funções com os desenhos de seus campos de vetor gradiente (rotulados de I-IV). Dê razões para suas escolhas.

f x , y = x 2 - y 2

Passo 1

Para podermos comparar o campo do vetor gradiente da nossa função com os desenhos (I-IV) do livro, precisamos primeiro determinar quem é este vetor gradiente. Ele é nada mais e nada menos do que um vetor de derivadas parciais. Isto é:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

Portanto, precisamos obter as derivadas parciais da nossa função f . Desta forma,

∂ f ∂ x = 2 x

∂ f ∂ y = - 2 y

Portanto, o gradiente da nossa função é:

∇ f x , y = y i + x j

Passo 2

Para podermos identificar qual desenho representa o campo vetorial do nosso gradiente, temos duas opções: utilizar um software para plotar e comparar (o jeito fácil), ou tentar fazer considerações no gradiente para identificar o desenho (o jeito difícil).

Como a questão nos pede para dar razões para identificar o desenho, vamos ter de trabalhar com o jeito difícil....

Bom, quando estamos no primeiro quadrante, temos x , y ≥ 0 . Com isto, o nosso vetor gradiente vai ter f x ≥ 0 e f y ≤ 0 (vetor aponta para a direita e para baixo).

No quarto quadrante temos x ≥ 0 e y ≤ 0 . Por causa disto, tanto a f x quanto f y são positivos. Logo, o vetor aponta para direita e para cima. Se continuarmos essa análise para os outros dois quadrantes, vamos confirmar que só existe uma figura que se enquadra com este caso.

Este desenho é o III.

Resposta

O desenho III representa o ∇ f .

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Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 . f → = s e nx + 2 y i ^ + 2 x + cos ⁡ z j ^ + z - ys e n
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Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para f → e o valor ∫ ( 0,0 , 0 ) ( a , b , c ) f → ⋅ d r → , onde a , b , c ∈R f → x , y , z = e x
Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para f → e o valor ∫ ( 0,0 , 0 ) ( a , b , c ) f → ⋅ d r → , onde a , b , c ∈R f → x , y , z = x +