Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() ( x + y ) d A , D é l i m i t a d a p o r y = sqrt(x) , y = x^2

Passo 1

Galera, pra conseguirmos escrever a integral dupla na forma iterada, primeiro precisamos descobrir quais são os limites de integração em x , pois, por enquanto, podemos supor apenas que sqrt(x) <= y <= x^2 ou x^2 <= y <= sqrt(x) .

Pra isso, podemos igualar os valores de y de cada curva pra achar quais são os valores de x das intersecções:

y = sqrt(x) = x^2

x = x^4

x (x^3 - 1) = 0

x = 0 o u x = 1

Então teremos que 0 <= x <= 1 , e pra esse intervalo, teremos x^2 <= y <= sqrt(x) . Pra você visualizar melhor, a região de integração é esta:

Então a integral vai ficar assim:

int_0^1 int_(x^2)^(sqrt(x)) ( x + y ) d y d x

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^1 (int_(x^2)^(sqrt(x)) ( x + y ) d y) d x = int_0^1 ([x y + (y^2)/(2)]_(x^2)^(sqrt(x))) d x = int_0^1 (x sqrt(x) + (x)/(2) - x^3 - (x^4)/(2)) d x = int_0^1 (x^((3)/(2)) + (x)/(2) - x^3 - (x^4)/(2)) d x

Passo 3

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_0^1 (x^((3)/(2)) + (x)/(2) - x^3 - (x^4)/(2)) d x = [(x^((5)/(2)))/((5)/(2)) + (x^2)/(4) - (x^4)/(4) - (x^5)/(10)]_0^1 = (2)/(5) + (1)/(4) - (1)/(4) - (1)/(10) = (3)/(10)

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Resposta

(3)/(10)

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