Enunciado

Certo sistema vibrando satifaz a equação s ' ' + γ s + s = 0 . Encontre o valor do coeficiente de amortecimento γ para o qual o quase período do movimento amortecido é 50 % maior do que o período do movimento correspondente sem amortecimento.

Passo 1

Vamos resolver nosso problema de soma genérica e assim aplicar a condição solicitada

Passo 2

Primeiro temos que, aplicando como solução s = e r t , chegamos a equação característica dada por

r 2 + γ r + 1 = 0

Onde resolvendo-a, temos

r = - γ ± γ 2 - 4 2

Onde nossa frequência μ será dada por

μ = γ 2 - 4 - 1 2 2

Agora se não houvesse amortecimento, teríamos então que nossa equação seria na verdade

s ' ' + s = 0

Com ω 0 = 1 .

Desta forma, se μ for 50 % maior que ω 0 , temos

ω 0 μ = 1,5 = 3 / 2

Assim isolando γ

γ 2 - 4 = 16 9

Se nosso sistema oscila, então

γ 2 - 4 < 0

Assim

4 - γ 2 = 16 9

Implicando que

γ = 20 9 = 2 3 5

Resposta

γ = 2 3 5

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