Enunciado

Um circuito elétrico simples consiste em um indutor de 5 henrys em serie com um resistor de 40 ohms , e em t s a força eletromotriz é e t . Se a corrente for i amperes em t s e i = 0 quando t = 0, expresse i como função de t

Passo 1

A figura 1 mostra um exemplo de circuito RL. Se a gente usar a Lei das malhas Podemos dizer que :

E   =   L d i d t + R i

Então já temos uma boa expressão para achar i. A gora so falta usar os dados de contorno do sistema .

Passo 2

Expresse i como função de t.

E   =   L d i d t + R i

E sabemos que

E = e t

L= 5 H

R = 40 Ω  

I = 0, se t =0

Assim vamos plotar nossos valores na função.

e t   =   5 d i d t + 40 i

d i d t + 8 i = e t 5

Essa é uma equação não homogênea, então não temos como usar o truque de separar variáveis. O jeito mais fácil é resolver por Fator Integrante. (Se estiver com duvida como prosseguir, da uma olhadinha na teoria. Temos uma seção especial só falando de fator integrante )

Entao se tivermos uma equação no formato

d i d t + g ( t ) i = b ( t )

podemos usar um fator integrante μ t , definido por

μ t = e ∫ g t d t

Passo 3

No nosso caso b(t) = e t 5

g(t) = 8

Logo

μ t = e ∫ g t d t

μ t = e ∫ 8 d t

μ t = e 8 t

Vamos Multiplicar ambos os lados da nossa equação por μ t

d i d t + 8 i = e t 5

μ t d i d t + 8 i μ t = μ t e t 5

Da uma olhada no lado esquerdo e como ele parece uma regra da cadeia. Percebeu ?

d d t i   .   μ t =   μ t d i d t + i d d t μ t

Entao vamos reescrever nossa equação

μ t d i d t + 8 i μ t = μ t e t 5

d d t i   .   μ t =   μ t e t 5

Pronto, agora a parte difícil já foi resolvida. Vamos usar μ t = e 8 t e integrar ambos os lados

∫ d d t i   .   e 8 t d t =   ∫ e 8 t e t 5   d t

i   . e 8 t = 1 5 ∫ e 9 t   d t

i   . e 8 t = 1 5   . 1 9   e 9 t + C

Lembrando que fizemos uma integral indefinida, então temos que acrescentar uma constante arbitraria , C.

i = e t 45 + C e 8 t  

Perfeito. Encontramos nossa equação para a corrente , mas ainda não acabou. Temos que lembrar das condições de Contorno.

T = 0 , I = 0

i 0 = e 0 45 + C e 0   = 0

C =   - 1 45

Assim nossa equação fica

i = e t 45 - 1 45 e 8 t  

Resposta

i = e t 45 - 1 45 e 8 t  

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