Enunciado

Compare as funções f x = x 5 e   g x = 5 x através do gráfico de ambas as funções. Encontre todos os pontos de interseção dos gráficos corrigidos a uma casa decimal. Qual função cresce mais rapidamente quando x é grande?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom...queremos comparar as seguintes funções através de seus gráficos:

f x = x 5

g x = 5 x

Com isso, queremos encontrar todos os pontos de interseção dos gráficos corrigidos a uma casa decimal.

Com essa plotagem, poderemos verificar qual função cresce mais rapidamente quando x é grande.

Mas o que quer dizer com “crescer mais rapidamente”??

Bom... quando uma função cresce mais rapidamente do que outra, isso significa que, à medida que você aumenta os valores de entrada (por exemplo, x em f ( x ) ), a função que cresce mais rapidamente aumenta seus valores de saída (ou seja, f ( x ) ) a uma taxa maior do que a outra função.

Passo 2

Bom pessoal, os pontos de interseção dos gráficos podem ser encontrados por:

f x = g x

x 5 = 5 x

Já dá para perceber que uma solução imediata é 5 , pois fazendo x = 5 , temos:

5 5 = 5 5

Nesse ponto de interseção. Temos que y é:

y = 5 5 = 3125

Logo, o ponto de interseção é 5,3125 .

Masss, o enunciado pediu para plotarmos os gráficos e verificarmos todos os pontos de interseção.

Utilizando uma Software matemático, temos:

Logo, temos outro ponto de interseção:

1,8 ; 17,1

Mas queremos saber qual função cresce mais rapidamente quando x é um valor grande.

Passo 3

Para pequenos valores de x , temos o seguinte comportamento:

Nesse caso, a função f x cresce de forma mais rápida.

Mas ainda temos um outro ponto de interseção (o ponto 5,3125 ), onde o comportamento irá mudar.

Passo 4

Mas para grandes valores de x , temos comportamento abaixo:

O gráfico foi dividido pelo fato de a escala estar muito diferente para as duas interseções.

Desta forma, fica mais fácil visualizar.

Para grandes valores de x , vemos que g x > f ( x ) .

Assim, g x cresce de forma mais rápida!!

Resposta

5 ;   3125

1,8 ; 17,1

g x cresce de forma mais rápida para grandes valores de x .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma calculadora para aproximar a expressão. Arredonde sua resposta até quatro casas decimais.
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Resolva em x sem usar uma calculadora. Use o logaritmo natural sempre que for necessário usar um logaritmo.
Resolva em x sem usar uma calculadora. Use o logaritmo natural sempre que for necessário usar um logaritmo.