Enunciado

Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também sua diretriz.

x 2 - 4 x - 4 y 2 = 0

Passo 1

Olá galerinha, espero que estejam bem e ansiosos para resolver este exercício comigo! Vamos lá.

As seções cônicas resultam da intersecção de um cone plano, como mostrado na Figura:

Equações de forma padrão para elipses centradas na origem:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1                                       ( a > b )

  • Distância entre o centro e foco: c = a 2 - b 2
  • Focos: ± c ,   0
  • Vértices: ± a ,   0
  • Uma equação da parábola com foco 0 ,   p e diretriz y = - p é:

    x 2 = 4 p y

    Se considerarmos que a = 1 / ( 4 p ) , então a equação torna-se:

    y = a x 2

    • Se   p > 0 concavidade para baixo;
    • Se   p < 0 concavidade para cima.

    Equações de forma padrão para hipérbole centradas na origem:

    x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

  • Distância entre o centro e foco: c = a 2 - b 2
  • Focos: ± c ,   0
  • Vértices: ± a ,   0
  • Assíntotas: x 2 a 2 - y 2 b 2 = 0 ou y = ± b a x
  • As equações cônicas descritas anteriormente têm todas focos no eixo x e, centro ou vértice em 0 ,   0 . Quando temos um centro genérico em h ,   k e focos na reta y = k são:

  • Elipse:
  • x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 = 1                                       c o m   a 2 = b 2 + c 2

  • Parábola:
  • y - k 2 = 4 p x - h

  • Hipérbole:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1                                       c o m   b 2 = c 2 - a 2

Passo 2

Sabendo disso, vamos para o nosso exercício, onde temos a seguinte equação:

x 2 - 4 x - 4 y 2 = 0

Se somarmos o valor 4 de ambos os lados, temos:

x 2 - 4 x - 4 y 2 + 4 = 0 + 4

x 2 - 4 x + 4 - 4 y 2 = 4

x - 2 2 - 4 y 2 = 4

Dividindo por 4, iremos obter a equação da hipérbole:

x - 2 2 4 - y 2 = 1

Temos o x substituído por x - 2 , ou seja, esse valor está deslocado, então teremos o centro como:

x - 2 = 0 → x = 2 y = 0                                                  

Sendo assim C 2 ,   0 .

Passo 3

Pela equação conseguimos definir que a 2 = 4 e b 2 = 1 , logo:

c 2 = 4 + 1 = 5

Como vimos que o x deslocado, teremos o vértice da seguinte maneira:

V 2 ± 2 ,   0

Logo:

V 0 ,   0 V 4 ,   0

A mesma coisa fazemos para os focos:

F 2 ± 5 ,   0

Passo 4

E as assíntotas são as duas retas:

Podemos escrever:

y = ± x - 2 2

Esse exercício foi mais complicadinho, mas já acabamos! Até mais pessoal.

Resposta

Hipérbole: C 2 ,   0 , V 0 ,   0 e V 4 ,   0 , os focos são F 2 ± 5 ,   0 e as assíntotas são y = ± x - 2 2 .

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