Curvas e Superfícies

Resumo

Quando estamos estudando Cálculo em algum momento falamos de funções de mais de uma variável e acabamos nos deparando com novas figuras como curvas e superfícies.

No nosso site você encontra uma seção inteira dedicada exclusivamente para falarmos sobre as diferentes superfícies e suas respectivas equações que surgem quando estamos estudamos cálculo. Vamos olhar algumas fórmulas delas aqui:

Circunferência

A equação da circunferência de centro em $(x_0, y_0)$ e com raio $r$, é:

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$

Definindo, o centro e o raio, podemos descobrir qualquer ponto dessa equação assumindo um valor para $x$ ou um valor para $y$.

Elipse

A equação da elipse, é parecida com a equação da circunferência, mas agora teremos dois novos valores $a$ e $b$ representando os semieixos (metade do eixo) $x$ e $y$ respectivamente:

$$\frac{(x+x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$

Perceba que se, $a=b=r$ teremos:

$$\frac{(x+x_0)^2}{r^2}+\frac{(y-y_0)^2}{r^2}=1$$

Que é o mesmo que a equação da circunferência:

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$

Hipérbole

As hipérboles também são superfícies e se parecem com ampulhetas, ou com torres de resfriamento que vemos nos Simpsons:

As Torres de Resfriamento tem formato de hipérboles.
As Torres de Resfriamento tem formato de hipérboles.

A sua equação é:

$$\frac{(y-y_0)^2}{b^2}-\frac{(x+x_0)^2}{a^2}=1$$

Com centro em $(x_0,y_0)$ e com vértices em $(x_0,y_0+b)$ e $(x_0,y_0-b)$.

E caso ela estejam deitadas:

$$\frac{(x+x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$

Com centro em $(x_0,y_0)$ e vértices em $(x_0+a,y_0)$ e $(x_0-a,y_0)$.

Parábola

Podemos também escrever a equação que desenha a parábola, apesar de já estarmos bastante acostumados com a função de parábola existe também a sua equação:

$$4p(y-y_0)=(x-x_0)^2$$

E essas são apenas as superfícies cônicas! Na nossa área de assinantes temos tópicos sobre Planos, Cilindros, falamos de curvas, ensinamos sobre parametrização e muito mais, confere nossa teoria sobre Introdução às Curvas e Domínio de Curvas:

Raio-X

Livros Resolvidos

  • Cálculo Volume 2 - James Stewart
  • Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - Louis Leithold
  • Cálculo -  Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)
  • Um curso de Cálculo Volume 1 - Hamilton Luiz Guidorizzi
  • Um curso de Cálculo Volume 2 - Hamilton Luiz Guidorizzi
  • Cálculo Volume 1 - James Stewart
  • Conteúdos Complementares

    Fórmulas de Curvas e Superfícies

    Equação da Circunferência