Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 6
Considere um circuito em série com um gerador de corrente alternada de força eletromotriz são constantes não-nulas. Sabe-se da física que a carga no capacitor é governada pela equação
Onde é a indutância, a capacitância, sendo supostas constantes positivas. Resolva a equação. Qual o valor de para o sistema estar em ressonância?
Passo 1
Primeiramente, vamos colocar a EDL na forma padrão:
Dividindo por :
Adotando
Dessa forma fica mais evidente que temos uma EDL de 2ºgrau e não-homogênea; dessa forma a solução geral será:
Onde é a parte homogênea da solução, e naturalmente, a solução particular da equação.
Passo 2
Vamos começar então obtendo a solução homogênea, para isso considere a seguinte equação auxiliar:
Como supostamente são positivas, isso nos dará raízes complexas:
Com
E então a solução homogênea :
Passo 3
Agora, para a solução particular repare que é uma função trigonométrica, logo espera-se que a solução também seja.
Portanto vamos propor uma solução do tipo:
De onde obtemos,
E
Substituindo na equação original:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
Então a solução particular será:
Repare que essa solução será válida SOMENTE se , pois caso contrário, ocorrerá RESSONÂNCIA e a solução já existirá em ; e então devemos propor uma solução diferente, do tipo:
De forma que:
Substituindo na equação original e simplificando(lembrando que nesse caso , obtemos:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
E a solução particular nesse caso:
Resposta
Portanto, a solução geral para a EDL será:
E
Portanto quando ocorre ressonância.