Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 2
Determine uma solução particular:
Passo 1
Primeiramente, vamos definir a equação: trata-se de um equação diferencial linear de 2ºgrau e não-homogênea.
Portanto, a solução geral poderá ser obtida da seguinte forma:
Onde, é a solução homogênea, e a solução particular
Passo 2
Para encontrarmos , considere a seguinte equação auxiliar:
Encontramos duas raízes complexas de modelo :
Com
Então a solução homogênea será:
Passo 3
Lembrando que o método dos coeficientes constantes só aceita como função trigonométrica quando , qualquer coisa diferente disso, como devemos utilizar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular, uma vez que ele é mais completo.
Portanto, como devemos utilizar o método de variação dos parâmetro:
Primeiro, vamos supor uma solução do tipo:
E tomando a solução homogênea como base, temos que .
Seja então:
E
Para encontrar precisamos de , sabemos que:
Então, basta integrar:
E
Portanto, nossa solução particular assume a seguinte forma:
Resposta
Uma vez que o exercício pede somente a solução particular, então: