Considere a equação x * y'' + x * y' - y = 0 , com x > 0

(c) Determine a solução geral da equação dada.

Passo 1

Bom, sabemos que quando uma equação diferencial admite duas soluções e essas são linearmente independentes entre si, temos uma solução geral do tipo:

y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x )

Onde y 1 x     e     y 2 x são soluções e Linearmente independentes entre si.

Passo 2

Na alternativa A dessa questão, encontramos a primeira solução:

φ 1 x = x

E na alternativa B obtivemos a segunda:

φ 2 x = x ln ⁡ x + ∑ k = 0 ∞ b k x k

Passo 3

Portanto, para definirmos uma solução geral para a equação diferencial dada, basta somar ambas:

y x = C 1 φ 1 x + C 2 φ 2 ( x )

Resposta

Então temos uma solução geral da seguinte forma:

y x = C 1 φ 1 x + C 2 φ 2 ( x )

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