Considere a equação
(c) Mostre que é razoável tentar-se outra solução da forma
Passo 1
Vamos buscar uma solução que seja Linearmente independente com .
Para isso podemos usar a fórmula de Abel-Liouville(Quem??); pois é, mas é bem tranquila:
“ seja a seguinte equação diferencial: e seja uma solução; se existir uma segunda solução ela será tal que:
Onde ”
Na alternativa A B vimos que:
Portanto:
Passo 2
Então vamos la:
Nossa ED:
Dividindo por
Teremos então:
Simplificando:
Dividindo por para colocar na forma padrão:
Passo 3
Temos agora uma EDL de primeiro grau, podemos resolver por Fator integrante:
Resolvendo o integral de forma separada:
Ou seja,
Multiplicando na equação diferencial na forma padrão:
Dando uma arrumada:
Note o seguinte:
Portanto:
Agora, é importante que você se lembre do seguinte:
Expansão de em polinômios de Taylor:
Isso significa que:
Se integrarmos isso termo a termos:
Teremos:
No resumo da ópera:
Se isolarmos
Sabemos também que:
Chegamos finalmente em uma solução do tipo:
Simplificando:
Resposta
Concluimos com certo sacrifício que a equação diferencial admite uma segunda solução do tipo: