Considere a equação:

(x - 2y)dx + (y + 2x)dy = 0

b) Determine uma solução que passa pelo ponto (2, 0) .

(Sugestão: O observável que também dá item a passada pelo ponto (1, 0) é utilizar o excêricio anterior)

Passo 1

Primeiramente devemos rearranjar a equação dada:

d y d x = x - 2 y - y - 2 x

Então, faremos:

u = y x → y = u x   e   y ' = ( u x ) '

Substituindo, temos:

( u x ) ' = x - 2 u x - u x - 2 x

Simplificando, obtemos:

( u x ) ' = 1 - 2 u - u - 2

Passo 2

Sendo:

( u x ) ' = x u ' + u

Temos:

x u ' + u = 1 - 2 u - u - 2

x u ' = 1 - 2 u - u - 2 - u = 1 - 2 u + u 2 + 2 u - u - 2 = 1 + u 2 - u - 2

u ' = d u d x = 1 + u 2 x ( - u - 2 )

Separando as variáveis:

- u - 2 1 + u 2 d u = d x x

∫ - u - 2 1 + u 2 d u = ∫ d x x

Passo 3

Integramos, obtemos:

- 1 2 ln ⁡ 1 + u 2 - 2 arctan ⁡ u = ln ⁡ x + c

Aplicando exponencial:

1 1 + u 2 ⋅ e 2 arctan ⁡ u = x e c

Voltando u = y x :

1 1 + y x 2 ⋅ e 2   arctan ⁡ y x = x e c

A solução que passa pelo ponto ( 2 ,   0 ) se dá:

1 1 + 0 2 ⋅ e 2 arctan ⁡ 0 = 2 e c

1 = 2 e c

e c = 1 2

c = ln ⁡ 1 2 = - ln ⁡ 2

Então a solução se dá:

1 1 + y x 2 ⋅ e 2  arctan ⁡ y x = x e - ln ⁡ 2 = x 2

Rearranjando:

x 2 1 + y x 2 ⋅ e 2  arctan ⁡ y x = 1

Resposta

x 2 1 + y x 2 ⋅ e 2  arctan ⁡ y x = 1

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