Sejam m, n, p, e q constantes dadas. Mostre que a mudança y = s * x transforma a equação

dy/dx = (m * x^2 + n * y^2) / (p * x^2 + q * y^2)

Numa de variáveis separáveis.

Passo 1

Para resolvermos essa questão, devemos fazer:

s = y x   e   y ' = ( s x ) '

E substituir na equação dada:

( s x ) ' = m x 2 + n s 2 x 2 p x 2 + q s 2 x 2

Simplificando:

( s x ) ' = m + n s 2 p + q s 2

Passo 2

Sendo:

( s x ) ' = x s ' + s

Temos:

x s ' + s = m + n s 2 p + q s 2

Rearranjando:

s ' = d s d x = m + n s 2 - p s - q s 3 x ( p + q s 2 )

Aqui, mostramos que a equação se torna uma de variáveis separáveis:

p + q s 2 m + n s 2 - p s - q s 3 d s = d x x

Resposta

p + q s 2 m + n s 2 - p s - q s 3 d s = d x x

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