Considere a equação x y ' ' + x y ' - y = 0 , com x > 0 .

(b) Tente outra solução da forma

φ 2 x = x ln ⁡ x + ∑ k = 0 + ∞ b k x k .

Por que é razoável tentar-se outra solução desta forma? Explique.

Passo 1

Sempre podemos tentar encontrar uma soluções que sejam linearmente independentes; para isso basta utilizarmos a formula de Abel-Liouville.

Ela diz o seguinte:

“ seja a seguinte equação diferencial: y ' ' + p x y ' - q x y = 0 e seja φ 1 x uma solução; se existir uma segunda solução y ela será tal que:

φ 1 x y φ 1 ' x y ' = e ∫ p x d x    

Onde y = φ 2

Na alternativa A B vimos que:

φ 1 x = x  

Portanto:

φ 1 ' x = 1

Passo 2

A equação na forma padrão:

y ' ' + y ' - 1 x y = 0

E então:

x y 1 y ' = e ∫ 1 d x

Teremos então:

x y ' - y = e x

Colocando na forma padrão:

y ' - 1 x y = e x x

Temos uma EDL de primeiro grau, podemos resolver por Fator integrante:

F I = e ∫ - 1 x d x

Resolvendo a integral de forma separada:

∫ - 1 x d x   = - ln ⁡ x = ln ⁡ x - 1

Substituindo:

F I = e ln ⁡ x - 1 = 1 x

Passo 3

Multiplicando na equação diferencial:

1 x y ' - 1 x 2 y = e x x

Repare que:

1 x y ' - 1 x 2 y = d y 1 x d x

Então:

∫ d y 1 x d x = ∫ e x x

Agora, é importante que você se lembre do seguinte:

Expansão de e x em polinômios de Taylor:

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … =

Isso significa que:

e x x = 1 x + x x + x 2 2 ! x + x 3 3 ! x + …

Se integrarmos isso termo a termos:

∫ 1 x d x + ∫ 1 d x + ∫ x 2 ! d x + ∫ x 2 3 ! + …

Teremos:

ln ⁡ x + x + x 2 2 ! 2 + x 3 3 ! 3 + … ⏟ ∑ a k x k

Ou seja, podemos reescrever:

ln ⁡ x + x + ∑ k = 0 ∞ a k x k

Resumindo:

y 1 x = ln ⁡ x + x + ∑ k = 0 ∞ a k x k

isolando y :

y = x ln ⁡ x + x 2 + ∑ k = 0 ∞ a k x k

Podemos “jogar” x 2 para dentro do somatório:

y = x ln ⁡ x + ∑ k = 0 ∞ b k x k

Resposta

Concluimos então que a equação diferencial admite uma outra solução φ 2 , linearmente independente com φ 1 , que assume a seguinte forma:

φ 2 x = x ln ⁡ x + ∑ k = 0 ∞ b k x k

É razoável tentar essa solução justamente porquê ela é Linearmente Independente com φ 1 .

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