Considere a equação , com
(b) Tente outra solução da forma
Por que é razoável tentar-se outra solução desta forma? Explique.
Passo 1
Sempre podemos tentar encontrar uma soluções que sejam linearmente independentes; para isso basta utilizarmos a formula de Abel-Liouville.
Ela diz o seguinte:
“ seja a seguinte equação diferencial: e seja uma solução; se existir uma segunda solução ela será tal que:
Onde ”
Na alternativa A B vimos que:
Portanto:
Passo 2
A equação na forma padrão:
E então:
Teremos então:
Colocando na forma padrão:
Temos uma EDL de primeiro grau, podemos resolver por Fator integrante:
Resolvendo a integral de forma separada:
Substituindo:
Passo 3
Multiplicando na equação diferencial:
Repare que:
Então:
Agora, é importante que você se lembre do seguinte:
Expansão de em polinômios de Taylor:
Isso significa que:
Se integrarmos isso termo a termos:
Teremos:
Ou seja, podemos reescrever:
Resumindo:
isolando :
Podemos “jogar” para dentro do somatório:
Resposta
Concluimos então que a equação diferencial admite uma outra solução , linearmente independente com , que assume a seguinte forma:
É razoável tentar essa solução justamente porquê ela é Linearmente Independente com .