Considere a equação x 4 y ' ' = 1 + x   y . Tente resolver a equação com uma solução do tipo:

y = α x + β + a 1 x - 1 + a 2 x - 2 + a 3 x - 3 + …

ou seja,

y = α x + β + ∑ k = 1 ∞ a k x - k

Passo 1

Queremos resolver a EDO

x 4 y ' ' = 1 + x   y

usando uma solução tentativa do tipo séries:

y = α x + β + ∑ k = 1 ∞ a k x - k

Derivando a solução tentativa uma vez:

y ' = α + ∑ k = 1 ∞ - k a k x - k - 1

Derivando de novo:

y ' ' = ∑ k = 1 ∞ k k + 1 a k x - k - 2

Portanto,

x 4 y ' ' = ∑ k = 1 ∞ k k + 1 a k x - k - 2 ⋅ x 4 = ∑ k = 1 ∞ k k + 1 a k x - k + 2

Note que podemos separar os dois primeiros termos da soma:

x 4 y ' ' = 2 a 1 x + 6 a 2 + ∑ k = 3 ∞ k k + 1 a k x - k + 2

Agora temos que redefinir o índice de soma. Vou fazer com bastante calma. Primeiro, chamamos

m = - ( - k + 2 )

Assim,

k = m + 2

Logo,

∑ k = 3 ∞ k k + 1 a k x - k + 2 = ∑ m = 1 ∞ m + 2 m + 3 a m + 2 x - m

Portanto,

x 4 y ' ' = 2 a 1 x + 6 a 2 + ∑ m = 1 ∞ m + 2 m + 3 a m + 2 x - m

Por uma questão de conveniência, voltamos a chamar o índice de k fazendo m → k :

x 4 y ' ' = 2 a 1 x + 6 a 2 + ∑ k = 1 ∞ k + 2 k + 3 a k + 2 x - k

Passo 2

Do lado direito, temos

1 + x   y = 1 + x α x + β + ∑ k = 1 ∞ a k x - k

Portanto,

1 + x   y = α x + β + α x 2 + β x + ( 1 + x ) ∑ k = 1 ∞ a k x - k

Ou ainda,

1 + x   y = α x 2 + α + β x + β + ∑ k = 1 ∞ a k x - k + ∑ k = 1 ∞ a k x - k + 1

Mas note que

∑ k = 1 ∞ a k x - k + 1 = a 1 + ∑ k = 2 ∞ a k x - k + 1

Portanto,

1 + x   y = α x 2 + α + β x + β + a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k x - k + ∑ k = 2 ∞ a k x - k + 1

Para a segunda soma, também vamos fazer mudanças nos índices. Vamos chamar m = - - k + 1 . Assim,

k = m + 1

Logo,

∑ k = 2 ∞ a k x - k + 1 = ∑ m = 1 ∞ a m + 1 x - m

Portanto,

1 + x   y = α x 2 + α + β x + β + a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k x - k + ∑ m = 1 ∞ a m + 1 x - m

Voltando a chamar o índice de k , temos que

1 + x   y = α x 2 + α + β x + β + a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k x - k + ∑ k = 1 ∞ a k + 1 x - k

Ou ainda,

1 + x   y = α x 2 + α + β x + β + a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k + a k + 1 x - k

Passo 3

Nos passos anteriores vimos que

1 + x   y = α x 2 + α + β x + β + a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k + a k + 1 x - k

x 4 y ' ' = 2 a 1 x + 6 a 2 + ∑ k = 1 ∞ k + 2 k + 3 a k + 2 x - k

Da mesma forma, a equação diferencial pode ser escrita como

1 + x   y - x 4 y ' ' = 0

Substituindo as expressões nessa equação:

α x 2 + α + β - 2 a 1 x + β + a 1 - 6 a 2 + ∑ k = 1 ∞ a k + a k + 1 + k + 2 k + 3 a k + 2 x - k = 0

Portanto, cada um dos coeficientes deve ser nulo:

α = 0

α + β - 2 a 1 = 0 ⇒ β = 2 a 1

β + a 1 - 6 a 2 = 0 ⇒ 3 a 1 = 6 a 2 ⇒ a 1 = 2 a 2

Além disso, para k ≥ 1 :

a k + a k + 1 + k + 2 k + 3 a k + 2 = 0

Ou ainda,

a k + 2 = - a k + a k + 1 ( k + 2 ) ( k + 3 )

Portanto, a solução da equação é

y = 2 a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k x - k ,               o n d e           a k + 2 = - a k + a k + 1 k + 2 k + 3 ,     p a r a   k ≥ 1

Resposta

y = 2 a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k x - k ,               o n d e           a k + 2 = - a k + a k + 1 k + 2 k + 3 ,     p a r a   k ≥ 1

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