Considere a equação . Tente resolver a equação com uma solução do tipo:
ou seja,
Passo 1
Queremos resolver a EDO
usando uma solução tentativa do tipo séries:
Derivando a solução tentativa uma vez:
Derivando de novo:
Portanto,
Note que podemos separar os dois primeiros termos da soma:
Agora temos que redefinir o índice de soma. Vou fazer com bastante calma. Primeiro, chamamos
Assim,
Logo,
Portanto,
Por uma questão de conveniência, voltamos a chamar o índice de fazendo :
Passo 2
Do lado direito, temos
Portanto,
Ou ainda,
Mas note que
Portanto,
Para a segunda soma, também vamos fazer mudanças nos índices. Vamos chamar . Assim,
Logo,
Portanto,
Voltando a chamar o índice de , temos que
Ou ainda,
Passo 3
Nos passos anteriores vimos que
Da mesma forma, a equação diferencial pode ser escrita como
Substituindo as expressões nessa equação:
Portanto, cada um dos coeficientes deve ser nulo:
Além disso, para :
Ou ainda,
Portanto, a solução da equação é