Resolva o Exercício 11 com auxílio do Exercício 17.

Passo 1

No exercício 11 mostramos a solução geral da equação x 4 y ' ' - k 2 y = 0 era

y = x   k 1 e k x + k 2 e - k x

Aqui devemos fazer o mesmo usando o resultado no exercício 17: a solução da equação

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   y

é

y = h x k 1 e p x + k 2 e - p x

onde

p ' x = k h x 2

Assim, temos identificar quem é h e p nesse para a equação:

x 4 y ' ' - k 2 y = 0

Passo 2

Isolando y ' ' :

y ' ' = k 2 x 4   y

Ou ainda,

y ' ' = 0 + k 2 x 4   y

Comparando com

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4 y

vemos que

h x = x ⇒ h ' ' x = 0

Como

p ' x = k h x 2

temos que

p ' x = k x 2

Passo 3

Integrando com relação a x :

p x = ∫ k x 2   d x = - k x

Portanto,

y = h x k 1 e - p x + k 2 e p x = x   k 1 e k x + k 2 e - k x

Provamos que a solução da equação x 4 y ' ' - k 2 y = 0 é

y = x   k 1 e k x + k 2 e - k x

Resposta

Demonstração.

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