Considere o polinômio do 2º grau , onde , e são reais dados.
- Verifique que
- Conclua de que, se , as raízes de são dadas pela fórmula
- Sejam e , as raízes de . Verifique que
onde .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos pediu três coisas envolvendo a equação . A primeira é verificar a relação:
Sabendo que . Então, nós temos que verificar se essa igualdade é verdadeira.
A segunda coisa é verificar que as raízes dessa equação do segundo grau, quando delta é positivo, vão ser dadas pela expressão:
E por fim, a terceira coisa é verificar que a soma das duas raízes (para um delta positivo) tem como resultado e que o produto tem o resultado .
Vamos lá!
Passo 2
- 
Aqui temos que verificar essa afirmação: Primeiro vamos desenvolver separadamente o produto notável , ok? Certo até aqui? Agora vamos substituir esse resultado dentro dos colchetes e da igualdade e substituir por (como fornecido pelo enunciado): Repara que o denominador é comum em dois termos, então vamos fazer essa subtração: Agora vamos multiplicar o que está de fora dos colchetes pelo que ta dentro, E vamos simplificar o que é possível: Viram? Verificamos a igualdade! Beleza? Vamos pra próxima? Passo 3
- 
Agora temos que se , então da letra as raízes podem ser dadas por: Isolando o termo do lado esquerdo teremos: Mas atenção, o que queremos é o valor de , então precisamos aplicar dos dois lados da equação a raíz quadrada: Sabemos que há duas respostas possíveis do lado esquerdo, uma com sinal positivo e outra com sinal negativo: E agora isolamos do lado esquerdo: E como os denominadores são iguais do lado direito, podemos juntar em uma única fração: Beleza! Vamos pra última? =) Passo 4
O enunciado forneceu equações para acharmos as raízes e e pede para verificarmos o resultado da soma e produto.
Vamos começar pela soma das raízes! Sendo,
e
A soma será:
Como os denominadores são iguais, podemos juntar em uma única fração:
Repara que os e vão se anular, como isso ficamos com:
Certo até aqui? Vamos para o produto das raízes?
Resolvendo o produto notável temos (lembrando: é o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo!):
Agora podemos substituir o valor de :
Repara que o termo se anula e depois podemos simplicar a expressão. Olha só como fica:
Daí ficamos com o produto das raízes:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
