Enunciado

Considere o polinômio do 2º grau a x 2 + b x + c , onde a ≠ 0 , b e c são reais dados.

  1. Verifique que
  2. a x 2 + b x + c = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2 , onde Δ = b 2 - 4 a c .

  3. Conclua de ( a ) que, se Δ ≥ 0 , as raízes de a x 2 + b x + c são dadas pela fórmula
  4. x = - b ± Δ 2 a

  5. Sejam x 1 = - b + Δ 2 a e x 2 = - b - Δ 2 a ( Δ ≥ 0 ) , as raízes de a x 2 + b x + c . Verifique que

x 1 + x 2 = - b a           e           x 1 x 2 = c a

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu três coisas envolvendo a equação a x 2 + b x + c . A primeira é verificar a relação:

x 2 + b x + c = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2

Sabendo que Δ = b 2 - 4 a c . Então, nós temos que verificar se essa igualdade é verdadeira.

A segunda coisa é verificar que as raízes dessa equação do segundo grau, quando delta é positivo, vão ser dadas pela expressão:

x = - b ± Δ 2 a

E por fim, a terceira coisa é verificar que a soma das duas raízes (para um delta positivo) tem como resultado - b / a e que o produto tem o resultado c / a .

Vamos lá!

Passo 2

  1. Aqui temos que verificar essa afirmação:

    a x 2 + b x + c = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2

    Primeiro vamos desenvolver separadamente o produto notável x + b 2 a 2 , ok?

    x + b 2 a 2 = x + b 2 a x + b 2 a = x 2 + x b a + b 2 4 a 2

    Certo até aqui? Agora vamos substituir esse resultado dentro dos colchetes e da igualdade e substituir Δ por b 2 - 4 a c (como fornecido pelo enunciado):

    a x 2 + b x + c = a x 2 + b 2 4 a 2 + x b a - b 2 - 4 a c 4 a 2

    Repara que o denominador 4 a 2 é comum em dois termos, então vamos fazer essa subtração:

    a x 2 + b x + c = a x 2 + x b a + 4 a c 4 a 2

    Agora vamos multiplicar o a que está de fora dos colchetes pelo que ta dentro,

    a x 2 + b x + c = a x 2 + a x b a + 4 a 2 c 4 a 2

    E vamos simplificar o que é possível:

    a x 2 + b x + c = a x 2 + a x b a + 4 a 2 c 4 a 2

    a x 2 + b x + c = a x 2 + b x +   c

    Viram? Verificamos a igualdade! Beleza? Vamos pra próxima?

    Passo 3

  2. Agora temos que se Δ ≥ 0 , então da letra a ) as raízes podem ser dadas por:

    x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2 = 0

    Isolando o termo x + b 2 a 2 do lado esquerdo teremos:

    x + b 2 a 2 = Δ 4 a 2

    Mas atenção, o que queremos é o valor de x , então precisamos aplicar dos dois lados da equação a raíz quadrada:

    x + b 2 a 2 = Δ 4 a 2

    Sabemos que há duas respostas possíveis do lado esquerdo, uma com sinal positivo e outra com sinal negativo:

    x + b 2 a = ± Δ 2 a

    E agora isolamos x do lado esquerdo:

    x = - b 2 a ± Δ 2 a

    E como os denominadores são iguais do lado direito, podemos juntar em uma única fração:

    x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

    Beleza! Vamos pra última? =)

    Passo 4

O enunciado forneceu equações para acharmos as raízes x 1 e x 2 e pede para verificarmos o resultado da soma e produto.

Vamos começar pela soma das raízes! Sendo,

x 1 = - b + Δ 2 a e x 2 = - b - Δ 2 a

A soma será:

x 1 + x 2 = - b + Δ 2 a + - b - Δ 2 a

Como os denominadores são iguais, podemos juntar em uma única fração:

x 1 + x 2 = - b + Δ - b - Δ 2 a

Repara que os + Δ e - Δ vão se anular, como isso ficamos com:

x 1 + x 2 = - 2 b 2 a = - b a

Certo até aqui? Vamos para o produto das raízes?

x 1 . x 2 = - b + Δ 2 a . - b - Δ 2 a

Resolvendo o produto notável temos (lembrando: é o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo!):

x 1 . x 2 = b 2 - Δ 2 4 a 2 = b 2 - ∆ 4 a 2

Agora podemos substituir o valor de Δ = b 2 - 4 a c :

x 1 . x 2 = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2

Repara que o termo b 2 se anula e depois podemos simplicar a expressão. Olha só como fica:

x 1 . x 2 = b 2 - b 2 + 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a

Daí ficamos com o produto das raízes:

x 1 . x 2 = c a

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   a x 2 + b x + c = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2

b )   x = - b ± Δ 2 a

c )   x 1 + x 2 = - b a   ;   x 1 . x 2 = c a

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