Considere a sequencia de termo geral s n = ∑ k = 1 n - 1 k + 1 a k , como a k > 0 para todo k ≥ 1 . Suponha lim k → + ∞ ⁡ a k = 0 . Suponha ainda que a sequencia de termo geral s 2 n + 1 ,   n ≥ 0 seja decrescente e que a sequencia de termo s 2 n ,   n ≥ 1 , seja crescente. Prove que a sequencia de termo geral:

s n = ∑ k = 1 n - 1 k + 1 a k

É convergente.

Passo 1

Boom galerinha, vamos continuar?

Nós sabemos que a sequencia s 2 n + 1 é uma sequencia decrescente, se é assim nós podemos concluir que:

lim k → + ∞ ⁡ a 2 k + 1 = a

Então, para um valor de ε > 0 :

a - ε < a 2 k + 1 < a + ε

Substituindo o termo a 2 k + 1 :

a - ε < - 1 2 k + 2 a k < a + ε

a - ε < [ - 1 k + 1 ] ² a k < a + ε

Tirando a raiz:

a - ε < - 1 k + 1 a k < a + ε

Isso significa que a nossa sequencia está compreendida entre os valores de a - ε e a + ε .

Como nossa sequencia é monótona e limitada nós podemos dizer que ela é convergente, certo?

E é só isso galerinha !!

Resposta

C o n v e r g e n t e   ‼

Ver Outros Exercícios desse livro