É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(n = 1)^(+ oo) (n ! 2^n)/(n^n)

Passo 1

Nosso capítulo se refere ao teste da razão e da raiz, então talvez, mas só talvez, seja com esses testes que devemos resolver nosso problema. Mas qual éo teste da razão e o da raiz?

Critério da Razão: Seja a série

sum_(k = 0)^(oo) a_k

Com nosso a_k > 0 para todo k >= q , na qual q é um natural qualquer. Suponha que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k) = L

Exista, finito ou infinito. Então se L < 1 dizemos que a série é convergente. Se L > 1 dizemos que ela diverge. E se L = 1 , não sabemos nada. E ai é utilizar outro teste.

Critério da Raiz: Seja ao mesma série acima, na qual

underset(k -> + oo)(lim) root(k)(a_k) = L

Então vale as mesmas coisas hahaha.

Passo 2

Essa série tem a cara de uma série que necessita do teste da razão. Será que é verdade?

underset(n -> + oo)(lim) (a_n + 1)/(a_n) = underset(n -> + oo)(lim) ((n + 1) ! 2^(n + 1))/((n + 1)^(n + 1)) * (n^n)/(n ! 2^n)

E agora é álgebra ... a pior parte?

((n + 1) ! 2^(n + 1))/((n + 1)^(n + 1)) * (n^n)/(n ! 2^n) = ((n + 1) n ! 2 * 2^n)/((n + 1) (n + 1)^n) * (n^n)/(n ! 2^n) = (2 n^n)/((n + 1)^n) = (2)/((n + (1)/(n))^n)

Agora vamos voltar ao nosso limite

underset(n -> + oo)(lim) (2)/((n + (1)/(n))^n) = (2)/(underset(n -> + oo)(lim) (n + (1)/(n))^n) = (2)/(e) < 1

Limite fundamental, lembra?

Então chegamos a conclusão de que nossa série converge, certo?

Resposta

C o n v e r g e n t e

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