É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 0)^(+ oo) (3^k)/(1 + 4^k)

Passo 1

Nosso capítulo se refere ao teste da razão e da raiz, então talvez, mas só talvez, seja com esses testes que devemos resolver nosso problema. Mas qual éo teste da razão e o da raiz?

Critério da Razão: Seja a série

sum_(k = 0)^(oo) a_k

Com nosso a_k > 0 para todo k >= q , na qual q é um natural qualquer. Suponha que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k) = L

Exista, finito ou infinito. Então se L < 1 dizemos que a série é convergente. Se L > 1 dizemos que ela diverge. E se L = 1 , não sabemos nada. E ai é utilizar outro teste.

Critério da Raiz: Seja ao mesma série acima, na qual

underset(k -> + oo)(lim) root(k)(a_k) = L

Então vale as mesmas coisas hahaha.

Passo 2

Primeiro observe que,

(3^k)/(1 + 4^k) < (3^k)/(4^k)

Assim, se provarmos que

sum_(k = 0)^(+ oo) (3^k)/(4^k)

Converge, então a nossa série original também converge (Comparação).

Mas como provamos que essa série converge? Parece que já ta na cara né .... raiz

Então aplicando o teste da raiz, temos

underset(k -> + oo)(lim) root(k)((3^k)/(4^k)) = underset(k -> + oo)(lim) (3)/(4) = (3)/(4) < 1

Logo essa ´serie converge pelo teste da raiz, e pelo teste da comparação, temos que nossa série

sum_(k = 0)^(+ oo) (3^k)/(1 + 4^k)

também converge.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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