Enunciado

26. Um corpo de massa m é projetado verticalmente para cima com uma velocidade inicial υ0 emum meio que oferece uma resistência k|υ|, em que k é constante. Suponha que a atraçãogravitacional da Terra é constante.(a) Encontre a velocidade υ(t) do corpo em qualquer instante t.(b) Use o resultado do item (a) para calcular o limite de υ(t) quando k → 0, ou seja, quando aresistência tende a zero. Esse resultado é igual à velocidade de uma massa m projetada paracima com uma velocidade inicial υ0 no vácuo?(c) Use o resultado do item (a) para calcular o limite de υ(t) quando m → 0, ou seja, quando amassa se aproxima de zero.

Passo 1

Para resolver essa questão precisamos fazer uma análise das forças em questão

F r =   - F g - F a

m a =   - m g - k v

Podemos fazer um pequeno truque aqui

m d v d t =   - m g - k v

d v d t =   - g - k m v

E olha que ótimo temos em mãos uma equação separável, isso facilita muito nosso trabalho

1 g + k m v d v =   - 1 d t

Vamos integrar em ambos os lados agora

m k ln ⁡ g + k m v =   - t + C

Fazendo umas manipulações podemos escrever nossa função como

g + k m v = C e - t k m

v = m k C e - t k m - g

Passo 2

Vamos descobrir o valor de C , utilizando os dados de contorno

v 0 = v 0

v 0 =   m k C - g  

C = k m v 0 + g

Logo nossa função é

v = m k k m v 0 + g e - t k m - g

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

v = m k k m v 0 + g e - t k m - g

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