Enunciado

Crescimento populacional: A população de Knoxville é de 500.000, e cresce uma taxa de 3,75% ao ano. Quando, aproximadamente, a população atingirá 1 milhão?

Passo 1

Precisamos descobrir quantos anos a população da cidade atingirá 1 milhão de habitantes. Para isto, devemos descobrir inicialmente qual é o modelo matemático que se enquadra nesta questão de crescimento. Este será o ponto mais difícil desta questão. Sendo assim, vamos analisar a modelagem calmamente.

Passo 2

Seja X a quantidade de habitantes e q a taxa com que a população de uma cidade cresce ao ano. Então, após passar 1 ano, teremos a seguinte quantidade de habitantes:

H a b i t a n t e s   a p ó s   1   a n o = X ⋅ ( 1 + q )

Agora, ao passarmos mais 1 ano, esta nova população crescerá novamente a uma taxa q . Logo, teremos:

H a b i t a n t e s   a p ó s   2   a n o s = X ⋅ 1 + q ⋅ ( 1 + q )

H a b i t a n t e s   a p ó s   2   a n o s = X ⋅ 1 + q 2

Se continuarmos a sequência, perceberemos que a equação que rege o nosso problema é:

H a b i t a n t e s   a p ó s   n   a n o s = X ⋅ 1 + q n

Passo 3

Substituindo os dados inicias da questão no modelo que definimos, teremos então a seguinte equação:

H a b i t a n t e s   a p ó s   n   a n o s = 500000 ⋅ 1 + 0.0375 n

H a b i t a n t e s   a p ó s   n   a n o s = 500000 ⋅ 1.0375 n

Passo 4

Devemos então descobrir o valor de n tal que:

1000000 = 500000 ⋅ 1.0375 n

1.0375 n = 2

Utilizando uma calculadora para ajudar nos cálculos, obtemos que:

n = 18,82   a n o s

Resposta

n = 18,82   a n o s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Compare as funções f x = x 5 eg x = 5 x através do gráfico de ambas as funções. Encontre todos os pontos de interseção dos gráficos corrigidos a uma casa decimal. Qual função cresce mais rapidamente q
Uma função é dada por uma tabela, gráfico, formula ou descrição verbal. Determine se a ela é um-pra-um. f x = x 4 - 16
Uma função é dada por uma tabela, gráfico, formula ou descrição verbal. Determine se a ela é um-pra-um. g x = x 3
Faça um esboço do gráfico de cada função. Não use a calculadora. Use somente os gráficos dados nas Figuras 3 e 13 e, se necessário, as transformações da Seção 1.3 . y = 10 x + 2
Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais: y = a x ,s ea = 2,1 / 2 , e y = 10 1 x y = e - x 2 y = - 2 x